Frage von Pomelmann, 29

Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert?

Meine Frage ist wie ich mit folgener Gleichung umgehe.

f(x)= (wurzel(ln(x))) / (ln(wurzel(x)))

Untersuchen soll ich ob diese Gleichung für x gegen unendlich konvergiert, und ich soll gegebenfalls den Grenzwert angeben.

Antwort
von uncledolan, 7

Setze erstmal die gängigsten Grenzwerte ein, um eine Vorstellung von der Funktion zu bekommen:

x = 0

--> (Wurzel(ln(0))/ln((Wurzel(0))

= (Wurzel(minus unendlich)/(ln(nicht definiert))

Da die Wurzelfunktion nur an den Zahlen größer 0 definiert ist, entfällt schonmal der Bereich x kleiner/gleich 0, für diesen Bereich ist f(x) also nicht definiert.

x = 1

--> (Wurzel(ln(1))/ln((Wurzel(1))

= (Wurzel(0)/ln(1)

= (nicht definiert)/0

Da die log Funktion erst ab x = 1 überhaupt positiv ist, und davor stets negativ
ist, und wir nach einer Wurzel fragen, die aber nur für den positiven Bereich definiert ist, wissen wir, dass auch alle Werte x kleiner 1 entfallen. Für den Wert genau x=1 sehen wir, dass der zweite Teil des Bruches (geteilt durch ln von Wurzel von x) an der Stelle eins genau gleich 0 sein muss, da wir wissen:

(Wurzel 1) = 1

ln (1) = 0

Und durch null teilen ist nicht erlaubt, also haben wir auch an der Stelle x = 1 eine Definitionslücke. Wir müssten an der Stelle x = 1 durch 0 teilen, was als Grenzwert-Lösung bedeutet, dass x an der Stelle 1 gegen unendlich konvergiert.

Das Ganze kannst du besser grafisch betrachten:

http://de.numberempire.com/graphingcalculator.php?functions=((log(x))^0.5)/((log((x^0.5)))), log(x),x^0.5&xmin=-2.54668&xmax=8.897418&ymin=-1.608178&ymax=6.021214&var=x

Antwort
von isbowhten, 11

komplizierte möglichkeit ohne nachdenken zu müssen:

satz von L'Hospital, grenzwert ist 0.

einfache möglichkeit mit ein bisschen nachdenken:

umformen auf 2/wurzel(ln(x)), offenbar geht das gegen 0.

die detailreichen zwischenschritte musst du natürlich noch selber einfügen.

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