Frage von SeucheTropfen, 127

Bestimme die Jahreszahlen N , für die gilt: N -2000 ist eine 2erpotenz und N ist die Differenz zweier Zweierpotenzen?

Antwort
von kreisfoermig, 64

Vorschau: Die Jahreszahl ist also 2016 oder 2032. Die Herleitung steht an:

FORDERUNGEN. Finde N ∈ ℕ mit

(1)...  N–2000 = 2ʳ 
(2)... N = 2ᵐ – 2ⁿ

für ein r, m, n ∈ ℕ mit m≥n !

Äquivalent: Finde m, n, r ∈ ℕ mit m≥n und

(3)... 2ᵐ – 2ⁿ = 2000 + 2ʳ

und setze N = 2000 + 2ʳ !

Es sind also r,m,n ∈ ℕ zu finden, so dass (3) erfüllt ist.

BEOBACHTUNG 1. Im Allgemeinen gilt

     2ʲ = 100…0₂ (Basis 2) mit j-Nullern
2ʲ – 1 = 11…1₂ mit j-Einsern
2ᵏ – 2ʲ = 11…100…0₂ mit k–j Einsern und j-Nullern

für alle j,k∈ℕ mit k≥j. Darum ist jede Zahl der Form 2ᵏ – 2ʲ auch der Form 11…100…0₂ (kürzer bezeichnet: 1*0*). Umgekehrt ist es offensichtlich, dass jede Zahl dieser Form gleich 11…111…1₂ – 11…1₂ und wegen der zweiten Beobachtung oben ist dies gleich (2ᵏ–1) – (2ʲ–1) = 2ᵏ–2ʲ für ein k,j∈ℕ mit k≥j. Darum haben wir eine vollständige Klassifizierung der Zahlen der Form 2ᵏ – 2ʲ: die sind diejenigen der Form 1*0* in Binär. Darum sind die o. s. Forderungen äquivalent zu

ÄQUIVALENTE FORDERUNG. Finde r∈ℕ, so dass

(4)... 2000 + 2ʳ der Form 1*0*

ist und setze N = 2000 + 2ʳ !

BEOBACHTUNG 2. Um mit (4) zu arbeiten, berechnet nun die Basis-2 Ziffernexpansion von 2000₁₀:

2000 = 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 16
= 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸ +2⁷ + 2⁶ + 2⁴
= 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸ +2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ – 2⁵
= (2¹¹–2⁴) – 2⁵
= 11111110000₂ – 100000₂
= 11111010000₂ (auch von der 2.Zeile ablesbar)

UNTERSUCHUNG. Wir untersuchen die Möglichkeiten für r, unter denen Bedingung (3) oder äquivalent (4) erfüllt ist:

Fall 1. r∈{4,5}. Dann gilt 2000+2ʳ = (2¹¹–2⁴) – 2⁵ + 2ʳ = 2¹¹–2⁴ oder 2¹¹–2⁵. Damit ist (3) erfüllt. Dies ist also eine hinreichende Lösung.

Fall 2. r<4. Also r∈{0;1;2;3}. Dann gilt 

2000 + 2ʳ = 11111010000₂ + 1₂; 10₂; 100₂ oder 1000₂
= 11111010001₂
oder 11111010010₂
oder 11111010100₂
oder 11111011000₂

Keine diese Zahlen sind der Form 1*0*. Darum ist Bedingung (4) nicht erfüllt.

Fall 3. 5<r<11. Also r∈{6;7;8;9;10}. Dann gilt

2000 + 2ʳ =       11111010000₂
+ 1000000₂
oder + 10000000₂
oder + 100000000₂
oder + 1000000000₂
oder +10000000000₂

= 100000010000₂
oder 100001010000₂
oder 100010010000₂
oder 100110010000₂
oder 101110010000₂

auf jeden Falls nicht der Form 1*0*. Darum ist Bedingung (4) nicht erfüllt.

Fall 4. r≥11. Also gilt 

2000 + 2ʳ =         11111010000₂
+ 100…0 00000000000₂ r≥11 Nuller
= 100…0 11111010000₂
¯¯¯¯\______________ r–11 Nuller

Diese Zahl ist nicht der Form 1*0*. Darum ist Bedingung (4) nicht erfüllt.

ZUSAMMENFASSUNG. Aus der Fallunterscheidung oben sind nur im 1. Falle die r-Werte hinreichende Lösungen zum Problem. Da die Fälle alle Möglichkeiten abdecken sind diese Lösungen sogar notwendig. Notwendig und hinreichend sind also die Lösungen:

N ∈ {2000+2⁴; 2000+2⁴} = {2016; 2032}

Die Jahreszahl ist also entweder 2016 oder 2032.

Antwort
von dohbi, 46

Ich glaube, so ein n gibt es nicht, und zwar aus folgenden Gruenden:

Wir suchen (ganze positive) Zahlen p,q,r, so dass n - 2000 = 2^r und n = 2^p - 2^q. Ist r = 0, so ist n = 2001, welches der zweiten Bedingung widerspricht. Wir nehmen ausserdem an, dass p >= q ist. Aus p = q folgt n = 0, welches der ersten Bedingung widerspricht. Also ist p > q. Insgesamt haben wir also

(1) n = 2^r + 2000, r > 0

(2) = 2^p - 2^q, p > q > 0, so dass nach Gleichsetzung

(3) n = 2^r + 2000 = 2^p - 2^q = 2^q x (2^(p-q) - 1).

Durch Umstellung und teilen durch 2^q erhalten wir

(4) 2^(p-q) - 1 = 2^r/2^q + 2000/2^q

Ist q <= r, dann ist 2^r/2^q eine ganze Zahl, und damit muss auch 2000/2^q eine ganze Zahl sein, da die linke Seite von (4) eine ganze Zahl ist. Das ist ein Widerspruch, und somit erhalten wir r < q, also 0 < 2^r/2^q < 1. Nun ist aber auch 2000/2^q < 1, so dass die Summe < 2 ist. Da diese Summe aber auch eine ganze Zahl sein muss (wegen der linken Seite), ist die rechte Seite von (4) = 1. Wenden wir das auf (4) an, so bekommen wir

(5) 2^(p-q) - 1 = 1, also

(6) 2^p = 2^(q+1).

Daraus folgt

(7) n = 2^p - 2^q = 2^(q+1) - 2^q = 2^q, und mit (1)

(8) n = 2^q = 2^r + 2000, also

(9) 2^q - 2^r = 2^r(2^(q-r) - 1) = 2000, und es folgt

(10) 2^q - 1 = 2000/2^r.

Die linke seite ist ungerade und die rechte Seite ist gerade, und damit ist r eindeutig bestimmt, naemlich r = 4, und wir erhalten

(11) 2^q - 1 = 125, i.e.

(12) 2^q = 126.

Dafuer gibt es keine Loesung.

Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet, vielleicht kann das mal jemand pruefen.

Kommentar von timlg07 ,

Naja und wenn wir uns zum Beispiel 2016 anschauen:

2016-2000=16=2^4
16=2^5-2^4

Es sind also alle Bedingungen erfüllt.

Kommentar von timlg07 ,

ups N soll ja die Differenz sein...
sonst wäre es immer die nächst höhere minus die gewollte Zweierpotenz um den Wert zu halbieren...

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