Frage von lateinchiller, 34

Bestimme die ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Funktionsgraph symmetrisch zum Ursprung ist und durch die Punkte A(1|3) und B(-2|-12) geht?

Ich hab da ehrlich gesagt keinen Ansatz, den ich präsentieren könnte. Meine Überlegung wäre nur, das B` bei (2|12) liegen muss und ich so die Steigung ausrechnen könnte (nur wie ?). Und ich könnte noch einen Punkt C wählen, der bei (0|0) liegt, das dürfte ja bei Punktsymmetrie zum Ursprung nicht falsch sein. Vielen Dank schonmal.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 26

Hallo,

symmetrisch zum Ursprung bedeutet, daß die Funktion keine geraden Exponenten und kein absolutes Glied aufweist.

Sie hat also die Form f(x)=ax³+bx

Nun mußt Du nur noch a und b bestimmen, indem Du die beiden gegebenen Punkte einsetzt und das Gleichungssystem löst.

Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte. Das paßt.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von surbahar53 ,

Zum besseren Verständnis : eine Funktion f(x) ist symmetrisch zum Ursprung, wenn

f(x) = - f( -x ) für alle x gilt

Ohne den Ansatz von Willy könnte man also folgende Gleichungen aufstellen

f(1) = 3

f(-1) = -3

f(-2) = -12

f(2) = 12

f(0) = 0

Spätestens jetzt wird man festellen, dass alle geraden Potenzen den Faktor 0 haben müssen.

Kommentar von lateinchiller ,

@surbahar53 Das war mir schon klar, aber trotzdem danke für die genaue Erläuterung. @Willy1729 Warum f(x) = ax^3 + bx ? Es heißt ja ax^3 + bx^2 + cx + d. Also müsste deine Funktion doch ax^3 + cx heißen ?

Kommentar von Willy1729 ,

Wenn nur zwei Variablen da sind, kannst Du sie natürlich auch mit a und b bezeichnen. Du kannst sie auch Fritz und Erna nennen. Wichtig ist nur, daß klar ist, daß es sich um variable Faktoren handelt, die voneinander unabhängig sind.

Kommentar von lateinchiller ,

😂 Alles klar. Ich hab nochmal eine kurze Frage. Wenn ich eine Funktion f(x) = x^2(x-2)^2 = x^4-4x^3+4x^2 habe und soll bestimmen, was für eine Verschiebung auf der x-Achse notwendig ist, damit wie Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse ist, was muss ich dann tun ? Ich hab schon überlegt, mit der Ableitung die drei Extrema der Funktion zu berechnen und das damit zu begründen. Das ist aber auch keine wirkliche Lösung.

Kommentar von Willy1729 ,

Doch. Wenn Du die mittlere Extremstelle bestimmst, die bei x=1 liegt, mußt Du die Funktion um eine Einheit nach links verschieben, damit sie achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

Das wäre dann die Funktion f(x)=(x-1)²*(x+1)², weil Du die doppelten Nullstellen jetzt bei x=-1 und x=1 brauchst. Auch bei dieser Funktion geht der Graph bei y=1 durch die y-Achse.

Antwort
von verkehrssuender, 17

dritte Ordnung bedeutet:

y = ax³+bx²+cx+d     (1)

Punktsymmetrisch bedeutet, dass alle Potenzen gerader Ordnung nicht vorkommen, also verbleibt

y = ax³+cx     (2)

Nun hast du zwei Unbekannten a und c, sowie zwei Gleichungen, indem du die beiden Punkte in (2) einsetzt.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 9

wegen Symmetrie

y=ax³+bx

jetzt beide Punkte einsetzen und a und b berechnen.

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