Frage von Gammelloppaa, 24

Bestimme die Funktionsgleichung in der angegeben Form. Kann mir jemand helfen?

a) N1(5/0) N2(-13/0) A(0/-120) in Scheitelform b) S(3/-576) N1(-9/0) in Normalform

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 10

a.)

Punkte N1(5/0) und  N2(-13/0) und A(0/-120)

Form eines Polynoms zweiten Grades -->

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c

Gleichungssystem aufstellen -->

1.) a * 5 ^ 2 + b * 5 + c = 0

2.) a * (-13) ^ 2 + b * (-13) + c = 0

3.) a * 0 ^ 2 + b * 0 + c = -120

c kann man in 3.) sofort ablesen, nämlich c = -120

Damit vereinfacht sich das Gleichungssystem auch sofort zu -->

1.) 25 * a + 5 * b = 120

2.) 169 * a - 13 * b = 120

Wenn du das auflöst, dann erhältst du -->

a = 24 / 13 und b = 192 / 13 und c = -120

Also f(x) = (24 / 13) * x ^ 2 + (192 / 13) * x - 120

b.)

Scheitelpunkt und Punkt -->

S(3/-576) und  N1(-9/0)

Ein Scheitelpunkt ist gleichzeitig auch ein Extremwert.

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c

y´ = f´(x) = 2 * a * x + b

Ein Extremwert ist dort, wo die erste Ableitung von f(x) also f´(x) eine Nullstelle hat.

Du hast 3 Informationen -->

a.) f(3) = -576

b.) f´(3) = 0

c.) f(-9) = 0

Gleichungssystem aufstellen -->

1.) a * (3) ^ 2 + b * (3) + c = -576

2.) 2 * a * 3 + b = 0

3.) a * (-9) ^ 2 + b * (-9) + c = 0

Kann man noch vereinfachen -->

1.) 9 * a + 3 * b + c = -576

2.) 6 * a + b = 0

3.) 81 * a - 9 * b + c = 0

Wenn du das auflöst, dann erhältst du -->

a = 4 und b = -24 und c = -540

Also f(x) = 4 * x ^ 2 - 24 * x - 540

------------------------------------------------------------------------------------------------

Leider steht nicht dabei, was denn nun die angegebene Form sein soll.

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c wird Normalform genannt.

y = f(x) = a * (x - u) ^ 2 + v wird Scheitelpunktform genannt

Man kann die Normalform in die Scheitelpunktform umrechnen -->

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c = a * (x - u) ^ 2 + v

u und v können aus a, b und c berechnet werden -->

u = -b / (2 * a)

v = (4 * a * c - b ^ 2) / (4 * a)

Von der Scheitelpunktform in die Normalform umrechnen funktioniert über die binomischen Formeln -->

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formeln

Kommentar von Gammelloppaa ,

Doch, die Aufgabe 1 soll in der Scheitelpunktform angegeben werden und die Aufgabe b in der Normalform. wären Sie so freundlichen ?:)

Kommentar von DepravedGirl ,

b.) ist glücklicherweise schon in der Normalform, da braucht man also nichts mehr zu berechnen.

a.)

f(x) = (24 / 13) * x ^ 2 + (192 / 13) * x - 120

a = 24 / 13

b = 192 / 13

c = -120

Man kann die Normalform in die Scheitelpunktform umrechnen -->

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c = a * (x - u) ^ 2 + v

u und v können aus a, b und c berechnet werden -->

u = -b / (2 * a)

v = (4 * a * c - b ^ 2) / (4 * a)

-------------------------------------------------------------------------------------

Das berechne ich jetzt mal -->

u = - (192 / 13) / (2 * (24 / 13)) = -4

v = (4 * (24 / 13) * (-120) - (192 / 13) ^ 2) / (4 * (24 / 13)) = -1944 / 13

Scheitelpunktform ist a * (x - u) ^ 2 + v, also -->

(24 / 13) * (x - (-4)) ^ 2 - 1944 / 13

also

(24 / 13) * (x + 4) ^ 2 - 1944 / 13

Das ist die Scheitelpunktform

Damit es noch mal ganz klar wird -->

f(x) = (24 / 13) * x ^ 2 + (192 / 13) * x - 120 = (24 / 13) * (x + 4) ^ 2 - 1944 / 13

Antwort
von AnnnaNymous, 11

N1(5/0) N2(-13/0) A(0/-120)

Die allgemeine Funktionsgleichung von Parabeln heißt:

y = ax² + bx + c

Wenn Du zuerst A für x und y einsetzt, erhältst Du sehr schnell c = -120

Jetzt in die Funktionsgleichung einsetzen: y = ax² +bx - 120

Wenn Du jetzt nacheinander N1 und N2 in die neue Funktionsgleichung einsetzt, erhältst Du ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten, damit kannst Du dann a und b bestimmen und danach in die Scheitelpunktform umwandeln. Bei b) umgekehrt

allgemeine Scheitelpunktform: y = a (x-d)² + e 

Scheitelpunkt hat die Koordinaten (d|e)

Ich habe hier schon Leute gelesen, die das mit Ableitungen gemacht haben, es also eleganter gelöst haben, aber damit weiß ich nicht Bescheid.

Kommentar von Gammelloppaa ,

Danke für deine Mühe, aber ich habe es trotzdem noch nicht verstanden was ich jetzt aufschreiben soll :(

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