Frage von milenab, 1

Bestimme 3 natürlichen Zahlen x,y,z für die folgende Eigenschaften gleichzeitig erfüllt sind 1. ggT8(x,y.z)= 35 2. kgV (x,y,z)= 2310 ?

Antwort
von claushilbig,

Die Primzahlzerlegung von 2310 ist 2 * 3 * 5 * 7 * 11

Damit kgV (x,y,z) = 2310 gilt, müssen x, y, und z Produkte der Primfaktoren sein.

Damit ggT(x,y,z) = 35 gilt, müssen x, y, und z zum einen Vielfache von 35 sein, dürfen zum anderen aber außer 35 = 5 * 7 keine gemeinsamen Primfaktoren haben.

Dafür gibt es verschiedene Lösungen, z. B.

  • x = 5*7 = 35, y = 2*3*5*7 = 210, z = 5*7*11 = 385
  • x = 2*5*7 = 70, y = 3*5*7 = 105, z = 5*7*11 = 385
  • x = 5*7 = 35, y = 3*5*7 = 105, z = 2*5*7*11 = 770
  • ...

Ich denke, Du erkennst das Prinzip?

(Welche der drei Zahlen man x, y und z nennt, ist dabei natürlich jeweils beliebig.)________________________________________________________

Man könnte jetzt mit Hilfe der Kombinatorik ausrechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, aber dazu habe ich jetzt keine Lust, und auch nicht, durch Ausprobieren alle Lösungen zu suchen ;-)


 

Kommentar von claushilbig ,

Ich erkenne gerade, dass es auch funktioniert, wenn außer 5*7 noch weitere der Primfaktoren p in zwei der drei Zahlen auftauchen.

p darf aber nicht Faktor aon  allen drei Zahlen sein, denn dann wäre das ggT p*35 und nicht 35.

Es würde also z. B. auch

  • x = 2*5*7 = 70, y = 2*3*5*7 = 210, z = 3*5*7*11 = 1155

gehen. Aber nicht

  • x = 2*5*7 = 70, y = 2*3*5*7 = 210, z = 2*5*7*11 = 770,

denn da wäre 70 der ggT.

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 1

Ich mache mal da weiter, wo claushilbig aufgehört hat und betrachte mögliche Fundstellen von hinten. Dabei hilft der Iterationsrechner:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#(x%2510%3C1)?1:Prime(x%2510)@Na=77...]=ggT(@Bi]=Fx(i)*5*7,a,2310);aD[i]=kgV(@Bi],a,2310);@Bi]=@Bi].toString()+'%7C'+a.toString()+'%7C2310'+((@Ci]==35%20&&%20aD[i]==2310)?'!':'');if(i==9)%20a=1155;@Ni%3E19@N0@N1@Nb=ggT(35,2310,2310);c=kgV(35,2310,2310);

{ LINK endet bei 2310);   und ergibt das Bild im Anhang}

Eine der leichtesten Fundstellen ergibt sich bei y=z=2310:

Da die 35 wegen ggT als kleinster Teiler dabei sein muss, ergibt sich:

35,2310,2310 -> b=ggT(35,2310,2310);c=kgV(35,2310,2310); OK

weitere sind:

x  | y |  z    .................ggT   |   kgV

105|770|2310 ! ...... 35 | 2310
70|1155|2310 ! ...... 35 | 2310

Natürlich kann man die Suchfunktion weiter optimieren und z.B. ein Array von Teilern anlegen:

 35 | 42 | 55 | 66 | 70 | 77 | 105 | 110 | 154
| 165 | 210 | 231 | 330 | 385 | 462 | 770 | 1155 | 2310

und die ausklammern, die keinen Teiler 35 haben...

...aber das würde über die einfache Aufgabenstellung hinausgehen...

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