Beschreiben Sie geometrisch die Kurve in ℝ² gegeben durch 3x² + 2xy + 3y² = 4?

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2 Antworten

Am einfachsten nimmt man eine Hauptachsentransformation vor, wie du ja schon angesetzt hast, also man setzt an: Der Spaltenvektor von (x, y) ist gleich eine orthogonale Matrix U mal dem Spaltenvektor  von (x', y'). Es ist dann U^T * A * U eine Diagonalmatrix und die Diagonalelemente sind die Eigenwerte von A (nach dem Satz über die Hauptachsentransformation). Die Eigenwerte von A sind 2 und 4. Damit gilt tatsächlich 2x'² + 4y'² - 4 = 0. Man kann natürlich auch die Matrix U ermitteln, wobei sich hier der Drehungswinkel pi/4 = 45° ergibt. In worten: Man muss die Ellipse um 45° drehen, damit sie "ordentlich" positioniert ist.

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Kommentar von seifreundlich2
02.07.2016, 19:44

Heisst das, die Eigenwerte von A sind gleich den Koeffizienten von x' und y'? Wenn ja, woher weiss ich dann, welcher Koeffizient vor x' und welcher vor y' gehört? Und wieso "fliegt" der mittlere Teil der ursprünglichen Kurve xy nach der Transformation komplett weg?

Und kann ich die Matrix A ausserdem aus der ursprünglichen Kurve ablesen?

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