Beschränkteit, wie berechne ic Schranken?

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2 Antworten

Du musst die Grenzwerte der Funktion berechnen. Die zu untersuchenden Stellen sind die "Ränder" des Definitionsbereichs und evtl. Polstellen (die x-Stellen, an denen der Nenner Null werden würde).

Bei Deinem Definitionsbereich (x>0) sind die "Ränder" 0 und plus-unendlich. Die Polstelle ist bei x=0, also der linke Rand des Definitionsbereichs.

Um den Grenzwert zu ermitteln, musst Du nun Werte für x einsetzen, die nahe am Rand liegen, d. h. , dass Du für den Grenzwert (limes) für x->0 immer kleinere x einsetzen musst (entweder in den Taschenrechner oder "gedanklich"). Wird das x immer kleiner in Richtung Null (also wird der Nenner immer kleiner), dann wird der Bruch immer größer.

In Deinem Beispiel ziehst Du also von der 5 eine immer größer werdende Zahl ab. Das heißt, der Funktionswert f(x) läuft für x->0 ins Minus-unendliche.

Für den Grenzwert am rechten "Rand" musst Du immer größere Zahlen für x einsetzen, somit wird der Bruch immer kleiner. Der Bruch läuft Richtung Null. D. h. Du ziehst von der 5 eine immer kleiner werdende Zahl ab; der Grenzwert ist demnach 5, d. h. der Funktionswert der Funktion f(x)=5-1/x wird nicht über den Wert 5 hinauslaufen (er wird nicht einmal die 5 erreichen). Die Funktion ist also nach oben beschränkt.

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Schranken berechnest du immer mit der Limes-Funktion.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+5-1%2Fx+as+x-%3E0%2B

Bei Wolframalpha steht hinten "as x->0+" und das heißt, er lässt den Limes von Positiv gegen 0 laufen. (dein x>0)

Du kannst die Einzelschritte anschauen, wenn du das Testweise Pro-Abo machst. Das ist kostenlos für nen Monat, wenn ich das noch richtig im Kopf hab. War in der Uni damals Gold wert ^^

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Kommentar von valvaris
24.10.2016, 15:28

Du kannst aber auch gern die Polstellen ausrechnen (Gibt nur die bei X=0 und dann folgern, dass Y immer kleiner, aber nie 0 wird, je Näher das X an 0 kommt.

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