Frage von xy121, 28

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren?

Hallo! Wenn ich einen Eigenvektor berechnen soll, muss ich ja immer eine Variable mit einführen. z.B. setzte ich x1=lambda. Damit kann ich ja x2 ausrechnen und habe den Vektor. Ist es egal ob ich x1 oder x2 gleich lambda setze? Und wenn es 2 EV gibt, muss ich dann bei dem 2. Vektor auch die gleiche Variable, also hier x1=lamda setzen oder muss ich dann x2=lambda setzen? Oder ist es egal?

Frage deshalb, da sich dann ja verschiedene Eigenvektoren ergeben würde.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von seifreundlich2, 17

Ich versteh deine Frage nicht ganz. Daher geb ich dir hiermit eine allgemeine Anleitung zur Bestimmung von Eigenvektoren. Wenn du es nach diesem Prinzip gerechnet hast, muss es richtig sein, sofern du keine Flüchtigkeitsfehler drin hast.

Die Bedingung für Eigenwerte lautet det(λE - A) = 0, wobei E die Einheitsmatrix der Form nxn ist und A eine beliebige nxn-Matrix.

Ist A zum Beispiel eine 2x2-Matrix mit den Koeffizienten a, b, c und d, so gilt:

det[λ-a, -b; -c, λ-d] = 0

=> (λ - a)(λ - d) - bc = 0, charakteristische Gleichung

<=> λ² - λd - aλ + ad - bc = 0

<=> λ² - λ(a + d) + ad - bc = 0

=> λ_1, λ_2, einsetzen in

(λ_{n}E - A) vectx = 0 => LGS nach einer Zeile lösen, dann in der anderen einsetzen => Eigenvektoren vectx_{n} = (x_{n1}, x_{n2}).

Kommentar von xy121 ,

Also nehmen wir an es gibt eine Matrix vom Typ (2,2). Ich erhalte somit 2 EW. Jetzt setze ich die EW ein, um auf die EV zu kommen. Dann erhalte ich iwann ein LGS. z.B. 4x+y=0 und 4x+y=0 (kann ja so sein) Jetzt muss ich ja für x und y iwas einsetzen z.B. x=lambda. Dann erhalte ich den Vektor (lambda / lambda) oder ausmultipliziert lambda*(1/1) In diesem Fall ist es ja egal ob ich x oder y gleich lamba setze...ist es immer egal ob ich x oder y gleich lamba setze? Und ich habe ja noch einen 2 EV zu berechnen. Hier muss ich ja auch einen als lambda setzen. Dann genau den gleichen oder ist es egal?

Kommentar von seifreundlich2 ,

x und y gar nicht gleich λ setzen, sondern direkt nach x oder y auflösen. Z.B. 4x + y = 0 <=> y = -4x => 1. EV: t * vect{u} = t * (1, -4), t ∈ ℝ.

Den zweiten EV erhältst du, indem du den zweiten Eigenwert in die Gleichung (λ_{n}E - A) vect{x_n} = 0 einsetzt.

Kommentar von xy121 ,

ja gut das war jetzt ein blödes Beispiel. Was ist wenn eine beiden Gleichungen folgendermßen lauten: -y=0 und y=0?

Kommentar von seifreundlich2 ,

Dann hat der Eigenvektor die y-Komponente 0, während die x-Komponente frei wählbar ist, da das Gleichungssystem unabhängig von x ist. Der x-Wert muss jedoch ungleich null sein, denn sonst hast du einen Nullvektor erzeugt, was unlustig wäre und dir nichts bringt, da ein solcher nicht als linear unabhängiger Vektor zählt. => EV: t * vect{v} = t * (k, 0), (k, t) ∈ ℝ, k ≠ 0.

Kommentar von xy121 ,

allgemein kommen ja eh unendlich viele Lösungen heraus, da man ja die quadratische Matrix gleich 0 gesetzt hat. Sie ist ja homogen.

Kommentar von seifreundlich2 ,

Unendlich viele, mehr oder weniger, ja. Allerdings ergibt dir das nicht unendlich viele linear unabhängige Vektoren, sondern unendlich viele kollineare, was dir nichts brächte.

Kommentar von xy121 ,

ok danke. Letztes Beispiel: wenn ich die Gleichungen -x-y=0 und 0=0 da habe. Dann könnte ich ja x=lambda setzen. Dann erhalte ich als Vektor: (lambda ; -lambda). Ich könnte ja auch y=lambda setzen. Dann erhalte ich als Vektor (-lambda ; lambda). Ist es egal, es kommen ja verschiedene Vektoren raus?

Kommentar von seifreundlich2 ,

Die wären eben kollinear, denn -1 * (λ, -λ) = (-λ, λ).

Insofern hast du zwar zwei Eigenvektoren, aber keine linear unabhängigen. Daher ist es egal, für welchen Eigenvektor du dich entscheidest.

Kommentar von xy121 ,

alles klar, dank dir :)

Antwort
von triopasi, 17

Sagt dir der Begriff "charakteristisches Polynom" etwaa?

Kommentar von xy121 ,

ja, aber das erklärt meine Antwort nicht

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