Frage von Glycin94, 61

Berechnung des thermischen (isobaren) Ausdehnungskoeffizienten?

Hallo,

im Anhang ist eine Aufgabe hinterlegt. Mir ist der Ausdehnungskoeffizient α durchaus für ideale Gase bekannt.

Nach der Formel α = 1/Vm * ( dVm / dT )p gitl ja für das ideale Gas α = 1/T , nach umformen. ("d" steht hier für die partielle Ableitung).

Nun sind aber die Koeffizienten der VdW. in der Aufgabenstellung hinterlegt, sodass man besagte Formel mit Sicherheit auf diese anwenden muss. Habe schon versucht die Gleichung nach Vm umzustellen und partiell nach T abzuleiten, leider gescheitert, sodass ich nicht sicher bin, ob dies überhaupt der Lösungsweg ist?

Danke im Voraus für jede Hilfe!

Antwort
von justtrying, 41

Endlich mal gescheite PC Aufgaben.

Der thermische Ausdehnungskoeffizient ist meist für ein Gültigkeitsbereich festgelegt bzw. manchmal bei einer bestimmten Temperatur. Ist daher mit Vorsicht zu genießen.

Van-der-Waals-Gleichung bearbeitet und umgestellt nach Vm ergibt:

Vm³ - (b + RT/p) * Vm² + (a/p) * Vm - ab/p = 0

(Quelle: Atkins: Physikalische Chemie, 4.Aufl., S.19 oben)

Im Buch wird auch ausführlich erklärt, wie diese Gleichung zustandekommt. Paar mathematische Kniffe sind dafür notwendig.

Funktion dritten Grades, ungünstig numerisch zu lösen. Daher geeignete Software verwenden (wird auch im Atkins empfohlen). Ich verwende meinen Taschenrechner.

Wenn Unsicherheit über das richtige Vm besteht, mit ideale Gasgleichung nachrechnen. Muss am nähesten am idealen Verhalten liegen.


Die Temperatur ist meines Erachtens indirekt angegeben, betrachtet man die VdW-Gleichung mit Vm, so fehlt nur die Temperatur. Umstellen nach T ergibt Klarheit.

Hätte dann um 1 K erhöht und Vm mit der obrigen Gleichung berechnet. Dann die von dir beschriebene Gleichung verwendet.

Weiterhin hätte ich einen größeren Temperaturbereich genommen und geschaut ob sich kaum Vm verändert, dann das Ergebnis mit Gültigkeitsbereich angegeben.

Kommentar von justtrying ,

Erfahrungsgemäß ist meistens jene Vm beim Lösen der Funktion dritten Grades richtig, dass nicht zweimal vorkommt, meist das erste.

Kommentar von Glycin94 ,

An eben dieser Formel hänge ich fest. Ich müsste, um nach dVm/dT partiell abzuleiten, ja jene erst einmal nach Vm umstellen. Wenn ich dann aber immer differenzieren, fallen p und b weg. Da die Werte gegeben sind, brauch ich sie bestimmt auch für die Lösung.

Kommentar von justtrying ,

Um die Aufgabe zu lösen musst du nichts ableiten. Die VdW-Gleichung lautet:

p = RT/(Vm - b) - a/Vm²

Um die Brüche wegzubekommen multiplizierst du die unpassenden Nenner der Quotienten raus.

Dies geschiet, indem du jedes Glied mit (Vm - b) * Vm² multiplizierst.

Daraus folgt:

(Vm - b) * Vm² * p = RT * Vm² - a * (Vm - b)

Wenn man nun alle Glieder nochmal durch p teilt und die Potenzen von Vm aus den Klammern zieht, ergibt sich die schon besagte Gleichung:

Vm³ - (b + RT/p) * Vm² + (a/p) * Vm - ab/p = 0

Das erstmal zur Herleitung.

Wenn du nun die Gleichung benutzt zur Berechnung des isothermen Ausdehnungskoeffizienten, so kannst du das Differential zur Differenz umwandeln, unter der Annahme, dass ein stetiger Anstieg vorliegt. In bestimmten Grenzen ist die Annäherung auch sinnvoll bzw. wenn du die Temperatur nur um 1 K erhöhst.

Kommentar von Glycin94 ,

Sorry, ist mir immer noch nicht eingängig. Ich soll die partielle Ableitung dVm/dT in eine Differenz umformen? Wie soll ich das denn anstellen und vor allen Dingen, welche Werte soll für die Differenzbildung genommen werden?

Vielen Dank für die Geduld, ist absolut nicht mein bestes Fachgebiet.

Kommentar von justtrying ,

Das Differential beschreibt die Steigung einer Kurve an jedem beliebigen Punkt der Funktion, wohingegen die Differenz die mittlere Steigung einer Kurve zwischen zwei Punkten (und alle dazwischen liegenden Punkten; Intervall) auf der Kurve wiedergibt.

Es ist dann sinnvoll ein Differential als Differenz zu betrachten, wenn die mittlere Steigung über alle Punkte zwischen zwei ausgewählten Grenzpunkten (Intervall) immer annähernd der Steigung an jedem Punkt entspricht. Wenn du nun ein Ausdehnungskoeffizient bei einer bestimmten Temperatur berechnest, so gilt der Ausdehnungskoeffizient nur für die Temperatur. Informationen über den Verlauf des Ausdehnungskoeffizienten bei abweichender Temperatur ist nicht gegeben. Daher meinte ich sind Ausdehnungskoeffizienten mit Vorsicht zu genießen.

Wie viele Punkte bestehen auf der Kurve Vm(T) bei einer Temperatur? Ein Punkt. Da kannst du nicht zwei nehmen und musst das Differential verwenden. Wenn du nun aber zwei Temperaturen nimmst, jeweils die molaren Volumen ausrechnest, dann hast du zwei Punkte auf der Kurve, kannst damit das Intervall abstecken und damit die Differenz bilden. Somit hast du zwischen T2 und T1 einen mittleren Anstieg der je nach Stoff bei hinreichend kleiner Temperaturdifferenz an jedem Punkt nahezu gleiche Anstiege besitzt.

Dann ist es sinnvoll, was hierbei der Fall ist.

Nochmal zum Mitschreiben, praktisch gesehen:

Temperatur bestimmen, molare Volumen ausrechnen. Temperatur um 1 K erhöhen, molare Volumen ausrechnen. Die Differenzen nehmen, d.h. anstatt dVm/dT nimmst du (Vm2 - Vm1) / (T2 - T1).

Damit hast du dann den Koeffizienten für den Temperaturbereich T1 bis T2. Ist natürlich stark begrenzt, und nur unter der Annahme verwendbar, dass der Koeffizient sich um den Temperaturbereich kaum verändert, oder wenn man Berechnungen innerhalb den Temperaturen anstellt.

Ich hoffe es war nicht zu umständlich beschrieben, habe kaum Zeit gehabt.

Kommentar von justtrying ,

Kannst natürlich auch größere Temperaturdifferenzen nehmen, aber nur wenn du nachgeprüft hast, dass der Anstieg zwischen den zwei Punkten nahezu gleich ist bzw. geringe Abweichungen besitzt.

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