Frage von Ayami,

Berechnung der Ableitung nach der h-Methode

Hallo, ich brauche ganz dringend Hilfe! :( Ich habe mit meinem Nachhilfelehrer heute nochmal die Berechnung der Ableitung mit der h-Methode wiederholt, aber jetzt wo ich es nochmal versucht habe, bekomme ich es nicht mehr hin. :(

Ich habe hier die Aufgabe f(x) = 2x³ - x² x0 = 1 Ich weiß, dass die Formel f(x0 + h) - f (x0)/h lautet, aber ich weiß nicht, was ich jetzt rechnen muss.

Kann mir das bitte jemand erklären? (Nicht nur vorrechnen, den Rechenweg habe ich hier... aber ich kann ihn nicht nachvollziehen.)

Danke!

Antwort von Complex,

Ich denke der Trick ist hier, dass du für Limes h->0 Null geteilt durch Null erhälst. In diesem Fall kann man die Regel von L'Hospital anwenden, also Zähler und Nenner nach h ableiten und dann erneut den Limes für h->0 bilden.

Kommentar von Ayami,

Tut mir leid, aber ich verstehe absolut nicht, was gemeint ist. :( Diese Regel haben wir auch nicht im Unterricht verwendet.

Ich weiß theoretisch gesehen, was ich machen muss, aber ich weiß nicht, wie man das einsetzen muss...

Kommentar von Complex,

Wie man es einsetzen muss ? Naja also dein f(x) ist 2x³-x² und dein x0 ist 1. Dementsprechend ist die Ableitung von f definiert als: f'(x) = limes(h->0) ( f(1 + h) - f(1) )/h = limes(h->0) ( 2 * (1 + h)³ - (1 + h)² ) / h

Wenn ihr L'Hospital nicht hattet, dann vergiss das ganz schnell wieder :) In diesem Fall musst du dann den Zähler erstmal ausmultiplizieren (da hilft nichts) und du siehst dann, dass wenn h Null wird du 0/0 dastehen hast. Und das ist nicht defniniert. Du kannst aber vorher das h herauskürzen! Im Nenner steht dann 1 und im Zähler sollte eine 4 übrig bleiben, wenn du h auf Null setzt. Und das wars: f'(1) = 4

Kommentar von Complex,

entschuldige ich hab mich vertippt, die Ableitung von f an der Stelle 1 ist definiert als f'(1) = limes(h->0) ( f(1+h) - f(1) ) / h

Kommentar von Ayami,

f'(x) = limes(h->0) ( f(1 + h) - f(1) )/h = limes(h->0) ( 2 * (1 + h)³ - (1 + h)² ) / h -> Das ist genau das, was ich nicht hinbekomme. :(

Kommentar von Complex,

Also erstmal f'(1) = limes ... (das ist das was ich noch korrigiert hatte).

Ich schreib die Definition der Ableitung an der Stelle x0 nochmal hin: f'(x0) = limes(h->0) ( f(x0 + h) - f(x0) ) / h

Nur verstehe ich dein Problem jetzt nicht ganz. Was genau bekommst du nicht hin ? Das Einsetzen ? Das Einsetzen ist eigentlich total simpel. Deine Funktion f ist nämlich definiert als f(x) = 2x³-x². Und f(x) bedeutet, dass x eine Variable ist, für die du irgendwas beliebiges einsetzen kannst. D.h. alle x werden einfach durch das ersetzt was du einsetzen willst. Deshalb ist f(x0) = 2x0³-x0² und entsprechend ist f(x0+h) = 2 * (x0+h)³-(x0+h)².

Jetzt hast du im Prinzip x0 und h als Variablen. Für x0 ist angegeben, dass es 1 sein soll. Also ist f(x0) = f(1) = 2-1 = 1 und f(x0+h) = f(1+h) = 2 * (1 + h)³ - (1 + h)².

Kommentar von Complex,

Bei f'(1) = limes(h->0) ( f(1 + h) - f(1) )/h = limes(h->0) ( 2 * (1 + h)³ - (1 + h)² -1 ) / h hab ich übrigens das - 1 vorhin vergessen ... sorry ... ich mach immer so blöde Fehler hier :(

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