Frage von einfachsoe, 29

Berechnet sich so der duale 4-Vektor?

Hi,

Ich belege gerade Theo II (Elektrodynamik) Ich habe hier eine Aufgabe, in der ich den dualen Vektor zu dem 4-Vektor:

X^mu = (ct,x^1,x^2,x^3)^T

berechnen soll.

Ich weiß wie man die duale Basis findet. Man schreibt die Basisvektoren in eine Matrix invertiert und transponiert sie und hat dann in jeder Spalte den dualen(!) Basisvektor.

Kann ich das hier ausnutzen und X^mu als linearkombination der Basisvektoren (multipliziert mit den Komponenten) nehmen:

X^mu = (ct,0,0,0)^T +...

Mit diesen 4 4-Vektoren die Matrix bilden, invertieren, transponieren und dann aus den dualen "Quasi-Basisvektoren" den dualen Vektor zu X^mu finden?

Ich finde das Thema mit Dualraum, ko- kontravariante Vektoren und Tensoren noch sehr gewöhnungsbedürftig.

Danke im Voraus ;-)

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 26

Es gibt diesen metrischen Tensor g_[µν], auch metrische Fundamentalform genannt, der die Metrik der Raumzeit bestimmt. In einer flachen Raumzeit wird sie η_[µν] genannt und hat - für kartesische Koordinaten - die Form diag[+1,–1,–1,–1] (oder, je nach Konvention, umgekehrt). 

Dieser Tensor eignet sich dazu, Indizes herunter- oder heraufzuziehen, und so ist

(1) X_ν = ∑_[µ = 0]^{3} g_[µν]·X^µ.

Eine Kurzschreibweise dafür ist

(2) X_ν =  g_[µν]·X^µ.

Dabei kommt Einsteins Summenkonvention zum Tragen, der zufolge über einen Index, der ein mal kontra- und ein mal kovariant auftritt, summiert wird.

Kommentar von einfachsoe ,

Danke schon mal. Ich gehe davon aus, dass der metrische Tensor eta eine 4x4 Matrix ist. Demnach ist X_v die Summe aus den 4 Spalten von eta mal dem mu-ten Index vpn X^mu. Als Ergebnis bekomme ich dann: X_v = (ct, -x^1, -x^2, -x^3).

Kommentar von SlowPhil ,

Als Ergebnis bekomme ich dann: X_v = (ct, -x^1, -x^2, -x^3)

Richtig. Du kannst übrigens ct durch x^0 respektive x_0 ersetzen.

Es gibt noch eine andere Konvention, nach der

(1.1) x_0 = –x^0 = –ct und x_k = +x^k,  k=1,2,3

ist, aber ich bevorzuge die mit

(1.2) x_0 = +x^0 = +ct und x_k = –x^k,  k=1,2,3, 

weil so das Abstandsquadrat

(2) g_[μν] Δx^μ Δx^ν = Δx_μ Δx^ν

zwischen zwei Ereignissen dann positiv ist, wenn sie zeitartig auseinander liegen, also eine klare zeitliche Reihenfolge haben.

Zu raumartig getrennten Ereignissen passt ein imaginärer Abstand besser, weil sich i und - i gegeneinander austauschen lassen, ohne dass sich die Mathematik verändert.

Interessanterweise funktioniert (2) (übrigens unabhängig von der Konvention) auch in schiefwinkligen in differentieller Form als

(3) g_[μν] dx^μ dx^ν = dx_μ dx^ν

auch in krummlinigen, weshalb sie für die ART (wo es gerade Linien manchmal gar nicht gibt), aber auch schon für die Elektrodynamik (wo Polarkoordinatenform oft nützlich ist) so interessant ist. 

Kommentar von einfachsoe ,

Entschuldigung für die unübersichtliche Darstellung. Ich schreibe mit der Smartphone-App und da kann man beim Antworten keinen Zeilenumbruch machen :-/

Kommentar von SlowPhil ,

Bei mir funktioniert zwar nicht alles über die App, aber Zeilenumbruch geht. Wenn ich partout einen haben will, kann ich auch mittels »<br>« einen erzeugen. Der wird dann allerdings immer umgewandelt.

Will ich Unicode nutzen,  geht das bei mir über die App auch, allerdings muss ich dann wissen, was ich tue, es gibt keine Vorschau. Beispielsweise kann ich

x₁ = –x¹

schreiben, wobei ich x₁ als x&#x2081; schreibe. Wenn ich mit Chromium auf meinem Netbook oder mit Google Chrome auf einem PC schreibe, kann ich das einfach ins Feld schreiben, sie direkt rauskopieren und mit U+Strg+V Inhalte einfügen. Bei anderen Browsern brauche ich dazu ein Testprogramm, übrigens auch jetzt mit Chrome auf Smartphone.

Kommentar von einfachsoe ,

Ok super!

Kannst du mir gutr Literatur zur theoretischen Elemtrodynamik empfehlen? Ich arbeite derzeit noch(!) mit dem Jackson "klassiche elektrodyn.", welcher aber, wie der Name schon sagt, wenig die SRT mit einbezieht. Ich brauche vor Allem eine gute Erklärung zu der ganzen Mathematik dahinter, mir reicht es nicht die Regeln zu kennen - ich muss mir das bildlich vorstellen können.

Kommentar von SlowPhil ,

Ich arbeite derzeit noch(!) mit dem Jackson "klassiche elektrodyn.", welcher aber, wie der Name schon sagt, wenig die SRT mit einbezieht.

Das »wie der Name schon sagt« ist ein verbreiteter Irrtum, denn »klassisch« bedeutet in erster Linie, dass sie nicht quantisch ist, also auch nicht beispielsweise Photonen behandelt, die Feldquanten der elektromagnetischen Strahlung.

Im Übrigen ist es die klassische Elektrodynamik, die nach der SRT förmlich schreit: Naturgesetze, d.h. grundlegende Beziehungen zwischen physikalischen Größen, sind nach Galileis Relativitätsprinzip invariant unter einem Wechsel des Bezugssystems, und da die Maxwell'schen Gleichungen nicht Galilei-invariant, wohl aber Lorentz-invariant sind, muss zwischen verschiedenen Koordinatensystemen Lorentz-transformiert werden.

Was Literatur betrifft: Hast Du schon mal den Greiner ausprobiert? Ich fand den eigentlich immer ganz gut verständlich. Viel kenne ich aber nicht aus dem Kopf, es ist aber immer gut, in Bibliotheken herumzustöbern und zu schauen, ob einem ein Buch eingängig erscheint. 

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