Frage von annalove4, 36

Benötige den richtigen Ansatz bei einer Matheaufgabe?

Hallo ihr Lieben, ich weiß, dass man hier keine Hausaufgaben reinstellen darf und ich finde es auch selber immmer unverschämt, wenn sich welche hier die Hausaufgaben machen lassen, aber ich komme einfach nicht mehr weiter und benötige nur den richtigen Ansatz. Bestimmen Sie a>0 so, dass die von den Graphen der Funktion f und g eingeschlossene Fläche den angegebenen Inhalt A hat. f(x)= -x^2 +2a^2 g(x)=x^2 A=72 Also ich weiß schonmal, dass ich die beiden Funktionen gleichsetzen muss, um die Schnittpunkte der Funktionen herauszubekommen. Aber ich habe ja "a" als noch eine Variable drin und weiß nicht genau wie ich das dann rechnen soll. Wäre schön, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte. :)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 36

Hallo,

Dein Ansatz war schon richtig:

Setze f(x) und g(x) gleich, um die Schnittpunkte zu bestimmen, die dann Deine Integralgrenzen bilden.

Dann machen wir das doch mal:

x²=-x²+2a²

2x²-2a²=0

2(x²-a²)=0

x²-a²=0

x²=a²

x=a oder x=-a

Du mußt also von -a bis a integrieren und sehen, für welches a Du die Fläche von |72| herausbekommst. Die Absolutstriche stehen hier, weil Du entweder f(x)-g(x)=h(x) integrieren kannst oder umgekehrt. Einmal ist die Fläche, die Du herausbekommst, negativ, einmal positiv; interessieren tut aber nur der Absolutbetrag.

Du mußt also das Integral von x²-(-x²+2a²), also von 2x²-2a² in den Grenzen von -a bis a bilden.

Somit brauchst Du die Stammfunktion, die da lautet: H(x) - ob Du die Differenzfunktion übrigens h(x) oder gretchen (x) nennst, bleibt Deiner Phantasie überlassen - H(x)=(2/3)x³-2a²x (das +c lassen wir hier weg, es spielt für die Flächenberechnung eh keine Rolle.

Nun setzt Du für x einmal a ein, einmal -a und bildest die Differenz, die dann |72| ergeben soll:

[(2/3)a³-2a³]-[-(2/3)a³+2a³]=72 (Das +2a³ in der zweiten Klammer ergibt sich, wenn Du hier für x ein -a einsetzt: -2a²*(-a)=2a³)

Nun lösen wir die eckigen Klammern auf:

(2/3)a³-2a³+(2/3)a³-2a³=72

Wir fassen zusammen:

(4/3)a³-4a³=72

-(8/3)a³=72

Nun teilen wir durch 8/3, indem wir mit dem Kehrwert 3/8 multiplizieren:

a³=72*-(3/8)=-27, bzw.=27, weil wir ja mit Absolutbeträgen arbeiten.

Da die dritte Wurzel von 27 gleich 3 ist, haben wir den gewünschten Wert für a gefunden.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von KDWalther ,

Diese Lösung ist soweit sehr schön und klar dargestellt - nur mit dem Betrag stimme ich nicht überein :-)

Die beiden Graphen sollen einen Flächeninhalt von 72 FE einschließen, also muss gelten: | Integral h(x),x,-a,a | = 72.
Denn das Integral selber liefert einen sog. orientierten Flächeninhalt.

Somit muss es zum Schluss heißen: | -8/3a³ | = 72, also
8/3a³  = 72  wegen a > 0 [deshalb fällt die alternative "Lösung" -8/3a³ = 72  raus].

Somit komme ich zwar auf exakt die gleiche Lösung, aber mit einer etwas anderen Vorgehens/Argumentationsweise.

Übrigens: a = -3 würde auf exakt dieselbe Funktion f führen, daher ist wohl a>0 vorgegeben.

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Hinweis. Du hast recht, ich hätte die Betragstriche am Schluß auch noch einmal setzen sollen, wollte es aber auch nicht zu kompliziert machen. Du kannst ja auch g(x)-f(x) rechnen. Die Fläche zwischen den Funktionsgraphen an sich bleibt ohnehin immer gleich groß.

Herzliche Grüße,

Willy

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