Frage von PiccoloVegetajr, 39

Beliebige funktion für folgende beispiele anwenden?

Als beispiel jetzt f" (x) = -64f(x) f' (x) = -0,2f(x)

Wie soll ich vorangehen?

Antwort
von poseidon42, 10

Ich nehme mal an du beziehst dich hier auf DGL´s ?

In dem Falle ein Beispiel:  (DGL 1. Ordnung lösen)

x´(t) = a*x(t) + f(t)

Bei dieser DGL handelt es sich um eine lineare inhomogene DGL 1.Ordnung. Um diese zu lösen müssen wir zunächst den Kern der DGL berechnen, d.h. die Lösung der homogenen DGL, es folgt:

x´(t) = a*x(t)     II *1/x(t)

x´(t)/x(t) = a    II Int{ dt}

Int{ x´(t)/x(t) dt } = Int{ a dt} = a*t + const.

Wir substituieren nun:

x(t) = y  ---> x´(t) = dy/dt   (" dt*x´(t) = dy ")

Also folgt:

Int{ dy/y } = a*t + const.

Nun ist ln(y) + const.  die Stammfunktion zu 1/y , daher folgt mit dem 1. HS der Integral- und Differentialrechnung:

Int{ dy/y } = ln(y) + const = a*t + const.

--> ln(y) = a*t + const   II exp(...)

--> y = x(t) = exp(a*t)*K      mit Konstante K

Damit haben wir die homogene Lsg ermittlelt. Um nun die inhomogene DGL zu lösen benutze ich an dieser Stelle die Variation der Konstanten (es gibt auch andere Verfahren):

K(t) = K(0) + Int{ f(t)/xh(t) dt }

mit      xh(t) = exp(a*t)    und  K(0) = x(0) .

Dann ist die gesamte Lösung gegeben durch:

x(t) = K(t)*xh(t)


Explizit an deinen Beispielen:

1.)
f" (x) = -64 *f(x) 

Hierbei handelt es sich um eine homogene lineare DGL 2. Ordnung, der Ansatz ist hier ähnlich:

Setze an:  f(x) = e^(k*x)

--> k²*e^(k*x) + 64*e^(k*x) = 0    II *e^(-kx)

--> k² + 64 = 0  ---> k = +/- sqr(-64)

Damit also:   k(1) = i*sqr(64)  und  k(2) = -i*sqr(64)

Diese einsetzen in unseren Ansatz liefert uns die beiden Fundamentallösungen:

fh1(x) = exp(i*sqr(64))   und   fh2(x) = exp(-i*sqr(64)) 

Durch Linearkombination erhalten wir eine äquivalente Basis:

fh3(x) = cos(sqr(64)*x)    fh4(x) = sin(sqr(64)*x)

Die Lösung ist laut Superpositionsprinzip eine Linearkombination dieser, es folgt also:

f(x) = A*cos(sqr(64)*x) + B*sin(sqr(64)*x)

A und B können dann mit gegebenen Anfangsbedingungen berechnet werden.



2)

f´(x) = -0,2*f(x)

(siehe mein Beispiel)

--> f(x) = K*e^(-0,2*x)     mit Konstante K



Allgemeines Vorgehen bei linearen homogenen gewöhnlichen DGL´s mit konstanten Koeffizienten:

f^(n)(x)*a(n) + .... + f(x)*a(0) = 0

Charakterischtisches Polynom berechnen:

Ansatz:  f(x) = e^(k*x)

---> k^n *a(n) + ... + a(0) = p(k)

Nullstellen liefern dann Lösungen für k:

p(k) = 0   ----> {k(1), ... , k(n) }

Lösung ist dann eine Linearkombination von:

A*e^(k(1)*x) + ... + Z*e^(k(n)*x) = f(x)

Falls es Werte k(i) gibt die mehrfach vorkommen (m-mal):

--> fh1(x) = e^(k(i)*x) ; fh2(x) = x*e^(k(i)*x) ; ... ;  fhm(x) =  x^(m-1)*e^(k(i)*x)


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