Frage von loverofthelife, 28

Beispiel zu ecponentialgleichungen?

Hallo ich habe eine mathematikautgabe die ich nicht lösen kann...
Also hier die aufgabenstellung:
Die Bevölkerung einer Stadt ist von 2002 bis 2011 annähernd exponentiell gewachsen. Im jahr 2007 hatte die stadt 42000 Einwohner, im Jahr 2011 hatte sie 50000 Einwohner. wir gehen von der Annahme aus, dass das Wachstum noch einige Jahre so weitergehen wird. A) wie viele Einwohmer wird die Stadt im jahr 2015 haben?
B) wann wird die Stadt mindestens 65000 Einwohner haben? (Zähle die jahre von 2002 an!)

Könnte mir jemand dabei helfen? Und den rechenweg/lösungsweg in die kommentare posten? Wäre echt lieb!!!!! Perfekt wäre natürlich ein foto von der rechnung!!!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik & Schule, 12

Hallo,

eine Formel für exponentielles Wachstum lautet y=x*e(k*t), wobei e die Eulersche Zahl ist (2,718281828..., die Basis des natürlichen Logarithmus ln) und k ein konstanter Faktor, der zu berechnen ist.

t ist die Zahl der Jahre, die ins Land gegangen sind, hier: 4.

Wir haben die Bevölkerungszahlen von 2007 und 2011, nämlich 42.000 und 50.000.

Diese beiden Zahlen setzen wir für x und y in die Gleichung ein:

50.000=42.000*e(4k)

50.000/42.000=e^(4k)
25/21=e^(4k)

Nun ist 4k der natürliche Logarithmus, nämlich die Zahl, mit der e potenziert werden muß, um auf 25/21 zu kommen.

25/21 ist dasselbe wie e^(ln(25/21)), denn e und ln heben sich gegenseitig auf.

Dann muß der ln(25/21)=4k sein und k=[ln(25/21)]/4=0,04358834679.

Nun kannst Du, von dem Stand des Jahres 2007 ausgehend, alle anderen Bewohnerzahlen berechnen, indem Du das berechnete k einsetzt und für t die Zahl der verstrichenen Jahre. Auch die Bewohnerzahl für die Zeit vor 2007 kannst Du nun berechnen, indem Du für t negative Zahlen einsetzt.

Im Jahre 2002 waren es z.B. 42.000*e^(-5*0,04358834679)=33.775,

im Jahre 2015 sind es 42.000*e^(8*0,04358834679)=59523

Wann sind es 65.000? Nun mußt Du die Gleichung 42.000*e^(0,04358834679*t)=65.000 nach t auflösen.

e^(0,04358834679*t)=65/42 (nach Kürzen)

Nun kommt wieder der Logarithmus ins Spiel:

0,04358834679*t=ln(65/42)

t=[ln(65/42)]/0,04358834679=10,02 Jahre.

Herzliche Grüße,

Willy

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