Zunächst einmal ist hier die Information gar nicht gemacht worden, ob Ihr beide den Mietvertrag unterschrieben habt oder nicht. Wenn ja, dann müsst Ihr gemeinsam den Mietvertrag kündigen. Anders geht es nicht, denn sonst bleibt der, der auszieht, für alle Verpflichtungen mit haftbar.
Es gibt 3 Möglichkeiten: Zum Vermieter gehen, damit der Mietvertrag nur auf Dich umgeschrieben werden kann. Der Vermieter muss dem aber nicht zustimmen, das ist reine Kulanzsache! Die Freundin muss natürlich dann dem Auszug zugestimmt haben, sonst geht gar nichts.
2. Möglichkeit: Du ziehst aus und suchst Dir eine andere Wohnung. Geht die Freundin gar nicht raus, wird Dir sowieso nichts anderes übrig bleiben. Beim Vermieter muss um Entlassung aus dem Mietvertrag gebeten werden (schriftlich!). Aber das auch ist reine Kulanzsache. Der Freundin wird dann klar werden, dass sie dann die Wohnung alleine bezahlen muss, was wahrscheinlich nicht gehen wird.
3. Möglichkeit: Die Freundin kann auf Zustimmung zur gemeinsamen Kündigung verklagt werden.
Naja, er bekommt ja erst mal ALG I in der Regel... Da hat er erst mal ein Jahr Zeit.