Frage von Lozano69, 54

Bei wie vielen Ziehungen erreiche ich die gewünschte Zielmenge?

Hallo,

gehen wir davon aus, dass ich 100 Tickets und 3 unterschiedliche Boxen habe. Wenn ich ein Ticket in eine Box investiere, habe ich die Chance mehr Tickets aus der Box zu erhalten. Das heißt ein Ticket muss ich bei jeder Box "bezahlen" um mehr Tickets erhalten zu können.

Box1: 1 Ticket Investition = 90% Wahrscheinlichkeit 2 Tickets zu erhalten

Box2: 1 Ticket Investition = 60% Wahrscheinlichkeit 3 Tickets zu erhalten

Box3: 1 Ticket Investition = 30% Wahrscheinlichkeit 6 Tickets zu erhalten

Zielmenge sei 1000 Tickets. Anmerkung: Wenn ich ein Ticket investiere und kein(e) Ticket(s) wieder herausbekomme, verliere ich dieses Ticket.

Meine Frage(n): Wie oft muss ich jede Box durchschnittlich "bespielen" um die Zielmenge zu erreichen? Und wie berechne ich das?

Danke

Antwort
von gfntom, 18

Wenn ich keinen Denkfehler mache, ist es egal, welche Boxen du bespielst:

Wenn ich eine Box 10 mal mit je einem Ticket bespiele, habe ich danach im Mittel aus den 10 Tickets 18 gemacht:

Box1: 1x verlieren + 9 * treffen -> 1 x 0 + 9 * 2 = 18
Box2: 4x verlieren + 6 * treffen -> 4 x 0 + 6 * 3 = 18
Box3: 7x verlieren + 3 * treffen -> 7 x 0 + 3 * 6 = 18

Also im Mittel machst du aus einem Ticket 1,8 Tickets, egal, welche Box(en) du bespielst.

Um auf 1000 Tickets zu kommen, müsstest du die Boxen beliebig 834x bespielen.

Kommentar von Lozano69 ,

Danke für die zügige Antwort. Wie bist du auf die 834 Mal gekommen?

Kommentar von gfntom ,

Die 834 sind falsch wie ich gerade festgestllt habe ;)

Es müssten 1125 sein:

100 T gespielt -> auf 180 T erhöht
180 T gespielt -> auf 324 T erhöht (4 T behalte ich)
320 T gespielt -> auf 576 T erhöht (in Summe: 580 T, 55 T behalten)
525 T gespielt -> auf 945 T erhöht + 55 behalten = 1000 T

In Summe gespielt 100+180+320+525 = 1125

Antwort
von gfntom, 32

Verständnisfrage:
Ich habe 1 Ticket, bespiele damit Box 1 und "treffe": habe ich dann 2 Tickets in Summe oder 3?
Sprich: bei einem "Treffer" erhalte den "Einsatz" zurück oder nicht?

Kommentar von Lozano69 ,

Man investiert 1 Ticket, das ist dann "weg", trifft und hat dann 2 Tickets.

Antwort
von kreisfoermig, 1

Es gibt ein anderes viel günstigeres Verfahren (wenn Zeit keine Rolle spielt). Man kaufe nur einmal, und investiere immer wieder alle gewonnenen Tickets. Das Verfahren explizit:

  1. Kaufe ein einziges Ticket!
  2. Investiere alle Tickets, die man hat!
  3. (a) Hat man die Zielmenge (100) erreicht, HALT! (b) Hat man die Zielmenge noch nicht erreicht aber auch noch nicht alles verloren, wiederhole ab 2! (c) Hat man alles verloren, fange nochmals ab 1 an!

Dieser Prozess wird mit Wahrscheinlichkeit 1 irgendwann terminieren. Wie viele Tickets muss man tatsächlich kaufen? Das wird durch die Anzahl der Wiederholungen von Schritt 1, dies wiederum ist bestimmt durch die Vorkommnisse von 3(c).

Schlage in der Literatur Verzweigungsprozesse und Aussterbewahrscheinlichkeiten nach. Das Verfahren oben ist eine Wiederholung von einem sog. Verzweigungsprozess innerhalb eines negativen binomischen Verfahrens: jeder Zyklus ist ein Verzweigungsprozess und man wiederhole, solange der Zyklus nicht erfolgreich ist (stirbt aus). Der Erwartungswert der Wiederholungen ist gegeben durch 1/(1–p), wobei p=Aussterbewahrscheinlichkeit.

Die Aussterbewahrscheinlichkeit lässt sich (nachschlagen!) bestimmen durch den kleinsten Fixpunkt der auf [0, 1] beschränkten Abbildung

ƒ(t) = ∑ P[X=n]·tⁿ über n=0; 1; 2; …

wobei X = Zufallsvariable für das Ergebnis einer Investition. Bei den drei Boxen gilt also

Box 1:  ƒ(t) = 1–0.9 + 0.9·t²
Box 2: ƒ(t) = 1–0.6 + 0.6·t³
Box 3: ƒ(t) = 1–0.3 + 0.3·t⁶

Die kleinsten Fixpunkte dieser Funktionen (auf [0, 1]) und somit die Aussterbewahrscheinlichkeiten der Verzweigungsprozesse sind also

Box 1:  p=1/9≈0,1111
Box 2: p≈0,4574
Box 2: p≈0,7560

Darum sind die „Erwartungskosten“ gegeben durch

Box 1:  t=1/(1–p)=9/8=1,125
Box 2: t=1/(1–p)≈1,8431
Box 2: t=1/(1–p)≈4,0986

Darum muss man im Schnitt 1,125 Tickets insgesamt kaufen, falls man mit Box 1 arbeite, 1,8431 für Box 2 und 4,0986 für Box 3. Deshalb ist Box 1 die günstigste Option. Und auf jeden Fall ist diese Methode günstiger als das Verfahren, nach dem man wiederholend Tickets kauft und investiert, ohne die Gewinne weiter zu investieren.

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