Frage von xNalaaa, 61

Bedingungen für einen berührpunkt?

Wenn die Aufgabe ist eine ganzrationale funktioj n-ten grades zu finden und als Bedingung dort etwas in der Art steht "... berührt g(x) im punkt (x|y)". Welche bedingungen kann ich daraus ziehen und muss für einen berührpunkt der punkt xy immer gegeben sein?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

Für einen Berührpunkt sind drei Bedingungen wichtig:

Die x-Werte sind identisch.
f(x) = g(x)
f '(x) = g'(x)

Das gilt auch, wenn eine Funktion eine Gerade ist. Denn wenn man diese ableitet, ist die 1. Ableitung gleich m.

Wenn der Berührpunkt nicht gegeben ist, muss man ihn auf irgendeine Weise errechnen, z.B. durch Gleichsetzung der beteiligten Funktionen.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 17

Berührpunkt an der Stelle x bedeutet, beide Funktionen haben an dieser Stelle den gleichen y-Wert, also f(x)=g(x) und die Steigung ist die Gleiche, sonst wäre es ein Schnittpunkt, also f'(x)=g'(x).

Die Krümmung muss nicht gleich sein (wie Dein Lehrer meint): z. B. f(x)=x²; g(x)=-x²; beide haben P(0|0) und f'(0)=g'(0)=0, aber f''(0)=2 und g''(0)=-2

Antwort
von PhotonX, 40

Wenn f und g sich im Punkt (x|y) berühren, dann haben sie dort den gleichen Funktionswert, also f(x)=g(x)=y, genauso wie bei einem Schnittpunkt. Zusätzlich dazu haben sie in diesem Punkt aber auch die gleiche Steigung: f'(x)=g'(x).

Kommentar von Comment0815 ,

Zu beachten ist aber, dass auch ein Schnittpunkt möglich ist, bei dem beide von dir genannten Bedingungen zutreffen. Zusätzlich sollte geprüft werden, ob f(x) oder g(x) dort einen Wendepunkt haben. (Oder habe ich einen Denkfehler?)

Kommentar von PhotonX ,

Ich denke, du hast einen Denkfehler. :) Zwei Parabeln können sich im Scheitel berühren, der nicht ihr Wendepunkt ist.

Kommentar von xNalaaa ,

Danke :) und gebe ich dann für x die jeweilige x Koordinate nur ein, also zb p(2/3), dann f(2)=g(2) ?

Mein Lehrer meinte auch noch irgendwas von "gleiche Krümmung", heißt dass dann f''(x)=g"(x) ?

Kommentar von PhotonX ,

Genau! Gleiche Krümmung ist f''(x)=g"(x), richtig, aber es ist keine Bedingung, die aus "f und g haben einen Berührpunkt bei x" folgt.

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