Bedeutet waagerechte Tangente, dass genau an der Stelle ein Extrem Punkt vorliegt?

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4 Antworten

Nicht zwangsläufig, aber es ist eine Voraussetzung.

Wenn zusätzlich f´´(x _ 0) = 0 und f´´´(x _ 0) ≠ 0 (oder bei höher ableitbaren Funktionen die höchste Ableitung eine ungerade Ableitung ist und  ≠ 0 und alle anderen Ableitungen = 0 sind) ist, dann liegt ein stattdessen ein Sattelpunkt vor.

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt bei dem zusätzlich f´(x _ 0) = 0 ist, was bei einer waagerechten Tangente der Fall ist.

Ein Sattelpunkt ist kein (!!) Extremwertpunkt.

x _0 kennzeichnet die Stelle x an der ein Extremwertpunkt oder ein Sattelpunkt liegen kann.

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Kommentar von DepravedGirl
27.12.2015, 15:20

Vielen Dank für den Stern ;-)) !

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Schau dir in diesem Zusammenhang mal das Vorzeichenwechselkriterium an! (Wenn man sich das veranschaulicht braucht man nichts auswendig zu lernen, das man in Klausuren dann nachher mit ziemlicher Sicherheit verwechselt...)

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eine waagerechte Tangente bedeutet, das es sich bei der Stelle um eine Extremwertverdächtige Stelle handelt, dass heißt, das es dort einen Lokalen Extrempunkt gibt, das ist allerdings nur der Fall, wenn dann die zweite Ableitung nicht 0 ist, dann ist es eine Extremstelle, wenn die zweite Ableitung allerdings 0 ist, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Bsp:

1. f(x) = x^3 => x = 0 ... Sattelpunkt

2. f(x) = x^2 => x = 0 ... Lokaler Extrempunkt

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Kommentar von ralphdieter
26.12.2015, 18:14

das ist allerdings nur der Fall, wenn dann die zweite Ableitung nicht 0 ist

knapp daneben: Bei f''>0 haben wir einen Tiefpunkt (da die Steigung f' wächst), bei f''<0 einen Hochpunkt (f' fällt). Aber bei f''=0 ist noch alles offen...

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Nicht zwangsläufig.

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Kommentar von Roderic
26.12.2015, 15:47

Daß die Tangente waagerecht ist, bedeutet ja, daß die Ableitung der Funktion nach x an dieser Stelle=0 ist.

Das ist eine notwendige Bedingung...

...aber keine hinreichende, dafür, daß an dieser Stelle eine Extremstelle ist.

Bestimmt hast du diese beiden Begriffe schon mal gehört, konntest aber nicht so recht was damit anfangen.

Hier hättest du mal ein lehrreiches Beispiel dafür.

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