Worauf muss ich achten, wenn ich einen ziemlich hochgewachsenen Baum im Garten fälle? Oder soll ich das lieber von einem Fachmann erledigen lassen?

Wenn du noch keine Erfahrung hast, hol dir auf jeden Fall jemand, der Ahnung hat. Wenn der Baum hoch ist, müsst ihr möglichweise mit Seil arbeiten, um das Fallen in die richtige Richtung zu unterstützen.
Alternative ist das von Wolfgang Joosta genannte Fällen Stück für Stück von oben nach unten.

Erkundige dich erst mal bei deinem zuständigen Grünamt, ob der Baum einfach so gefällt werden darf.Es kann ansonsten hohe Geldstrafen geben wenn du Pech hast.

Ein Fachmann kostet garantiert je nach Baum und Standort zwischen 300,- und 600,-Euro.(habe ich selbst beim Nachbar erlebt) Also , selbst ist der Mann. Falls der Baum wegen der Größe nicht gesamt gefällt werden kann , weil kein Platz in Fallrichtung besteht , fängt man an, die Äste von unten nach oben Stück für Stück mit einer Handsäge zu entfernen.(man soll sich nicht unter Zeitdruck setzen).An dem fast kahlen Stamm beginnt man mit dem Abtragen der Krone und zwar immer soviel, wie man aus Platzgründen verantworten kann.

Am besten von oben nach unten einkürzen und dann erst fällen.
Ein Freund von uns hat eine japanische Zierkirsche gefällt, das hat dem Nachbarn nicht gefallen und ihn angezeigt. Es stellte sich heraus, dass das Bäumchen was ganz besonderes war und er wurde vom Grünflächenamt dazu verdonnert 18 neue Pflanzen zu setzen oder eine hohe Geldstrafe zu zahlen. Er hat sich für eine Hecke entschieden. Also frag erst mal, ob du diesen Bum fällen darfst.

Lass lieber den Fachmann ran, nicht, dass der Baum am Ende aufs Haus fällt oder sonst wohin!

Erst mußt Du Dich erkundigen, ob Du überhaupt fällen darfst. Hier ist ein Video, das zeigt, wie man es fachgerecht macht: http://www.mein-schoener-garten.de/de/site/videos/Videos.jsp
Bei Baumfällarbeiten werden jedes Jahr viele Menschen getötet. Oft genug wird die Gefahr nicht richtig eingeschätzt und es gibt sehr viele Verletzte durch den falschen Umgang mit der Kettensäge und nicht benutzte (weil zu teuer) Schutzausrüstung. Wenn es auch recht teuer werden kann - Ein Menschenleben ist mehr wert. Lasst Euch ein Angebot von einer Baumfällfirma machen, dann könnt ihr immer noch entscheiden.