Frage von MartiniHarper, 24

Basis und Dimension eines Vektorraumes angeben, was wurde in der Lösung gemacht?

Hallo,

den Schritt den ich überhaupt nicht verstehe habe ich Rot umrandet.

Ich verstehe nicht was dort gemacht wird. Warum meine Konstanten lambdas alle gleich sein sollen ist mir ein Rätsel.. alles im Rot markierten ist mir eigentlich ein Rätsel.

Wäre für eine Erklärung dankbar.

LG

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 12

Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, d.h. es darf keine nichttrivialen Lösungen für
λ_1•v_1 + … + λ_n•v_n = 0
geben, sonst sind die Vektoren linear abhängig und bilden somit keine Basis. Stell Dir anschaulich drei in einer Ebene liegende Vektoren vor. Durch geeignetes Verlängern (λ>1), Verkürzen (λ<1) oder Umkehr (λ<0) kannst Du immer ein Dreieck daraus basteln, sodass der Anfang von einem am Ende des anderen ansetzt.
Den Raum spannen sie nicht auf, dass ist klar. Die Ebene spannen sie auf und sind daher ein Erzeugendensystem. Da sich einer aus den beiden anderen bilden lässt und daher "überflüssig" ist, bilden sie aber keine Basis.
Mit Funktionenräumen, wiewohl abstrakter, ist das nicht anders.

Antwort
von PhotonX, 12

Das ist die allgemeine Definition von linearer Unabhängigkeit. Allerdings fehlt noch ein "=0" in der unteren Zeile, sollte also heißen: lambda_1=...=lambda_n=0. Wenn die v_i linear unabhängig sind, dann folgt aus der Tatsache, dass ihre Linearkombination Null ist, dass die Linearfaktoren Null sind (und natürlich auch umgekehrt).

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