Frage von noslon, 46

Ausdruck vereinfachen für (a + b + c) (–a + b + c) + (2c + b – a)² – 2(b + c)²?

Ich bin gerade dran mein Mathe etwas aufzufrischen, was schon länger her ist, und stehe etwas an bei folgender Aufgabe wo ich einfach nicht auf die richtige Lösung komme.

Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck so weit wie möglich unter Verwendung der binomischen Formeln.

(a + b + c) (–a + b + c) + (2c + b – a)² – 2(b + c)²

Kann mir jemand den Lösungsweg dazu aufzeigen?

Die Lösung ist: 2bc + 3c² – 4ac – 2ab

Antwort
von UlrichNagel, 22

Nur im letzten Glied steht eine binomische Formel, die anderen sind keine! Die Potenzen musst du in Produktform umschreiben und dann jedes Glied mit jedem Glied ausmultiplizieren! Tue es und wir schauen, ob es richtig ist!

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathematik, 14

(2 * c + b - a) ^ 2 ist ein Trinom, Infos darüber findest du hier -->

https://de.wikipedia.org/wiki/Trinom

(b + c) ^ 2 ist ein Binom, da schau mal hier nach -->

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formeln

Antwort
von FataMorgana2010, 15



(a + b + c) (–a + b + c) = (b+c + a) * (b+c - a) 

Da springt einem die dritte binomische Formel [(x+y)(x-y)=x²-y²] ins Gesicht (x wäre hier b+c, y a). Also: 

(b+c)² - a² Das rechne ich jetzt erstmal nicht weiter aus, weil ich vielleicht noch Verwendung dafür habe.... Ich setze das erstmal ein: 


(a + b + c) (–a + b + c) + (2c + b – a)² – 2(b + c)²

= (b+c)² - a² + (2c + b - a)² - 2(b+c)²

Ah, dahinten steht das ja noch mal, wie schön... 

=  - a² + (2c + b - a)² - (b+c)²

Sieht doch schon netter aus. Für den Mittelteil setze ich mal x=2c+b und y = a, damit ich die zweite binomische Formel anwenden kann: 

= - a² + (2c+b)² - 2(2c+b)a  + a² - (b+c)² 

Schön, damit hat sich das a² erledigt. 

(2c+b)² - 2(2c+b)a  - (b+c)² 

Jetzt kann ich entweder stur alle Klammern ausrechnen, oder ich trickse noch ein wenig: 

(2c + b) kann ich schreiben als (c + b + c). Wenn ich das quadriere (und dazu geschickt aufteile...), bekomme ich 

c² + 2c(b+c) + (b+c)²

Das setze ich mal ein: 


(2c+b)² - 2(2c+b)a  - (b+c)² 

= c² + 2c(b+c) + (b+c)² - 2(2c+b)a  - (b+c)² 

Na, wieder ein Binom gespart... 

= c² + 2c(b+c) + (b+c)² - 2(2c+b)a  - (b+c)² 

= c² + 2cb + 2c² - 4ac - 2ab

= 3c² + 2bc - 4ac - 2ab. 


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