Naja, das Problem hast du dir selbst gebaut: du hast dir eine verhaltensbedingte Kündigung eingefahren:
http://www.arbeitsrecht-ratgeber.de/arbeitsrecht/kuendigung/content0305_01.html
Vielleicht kannst du mit dem ehemaligen Arbeitgeber reden, und zwar offen und ehrlich. Wenn er sich nicht darauf einlässt, dich zurückzunehmen, was eigentlich zu erwarten ist, hilft dir bei anderen potentiellen Arbeitgebern bzw. Ausbildungsunternehmen auch nur Ehrlichkeit. Die Leute haben in der Regel eine so gute Menschenkenntnis, dass sie wissen, was los ist, noch bevor du den Mund aufmachst. Und wenn du dann lügen oder die 'Wahrheit ein bisschen schönreden) würdest, hast du deine Chancen gleich verspielt.
Auf das Arbeitsamt solltest du nicht zu große Hoffnung setzen. Setz dich mit den gelben Seiten hin und such dir alle Betriebe in der Umgebung raus, die in Frage kommen. Und zwar ALLE. Auch die, bei denen du ungünstige Fahrzeiten etc. in Kauf nehmen musst. Im Augenblick kannst du nicht wählerisch sein; wenn du zu lange wartest, wirst du nicht mehr an die Ausbildung anschließen können und dann sieht es für die Zukunft nicht gerade zuckersüß aus. Also: Branchenverzeichnis und Initiativbewerbungen schreiben. Initiativbewerbungen sind Bewerbungen, die man schreibt, ohne auf ein explizites Arbeitsangebot zu reagieren. Sieh zu, dass die Bewerbung tipptop ist - ohne Rechtschreibfehler, ohne Lücken etc. Wenn telefonisch nachgehakt wird, kannst du ja antworten, dass du gerne bereit ist, die Situation in einem persönlichen Gespräch zu erläutern. Wenn nicht darauf eingegangen wird, musst du es eben am Telefon machen, bleib aber so objektiv wie möglich.
Du kannst vom ehemaligen Arbeitgeber auch ein Zeugnis anfordern (Beurteilung). Schau dir das an, gehe das Zeugnis mit der Verbraucherzentrale zusammen durch (das ist nämlich schon teils ein fieses und hintersinniges Kauderwelsch) und achte darauf, dass es in Ordnung ist und du nicht in der Luft zerrissen wirst.
Das Zeugnis solltest du dann mit beilegen. Eventuell kannst du auch deinen ehemaligen Arbeitgeber als Referenz angeben. Das hört sich zwar doof an, ist aber gar kein dummer Schachzug, es sei denn, die Unpünktlichkeit war nur eines von vielen Problemen. In deiner jetzigen Situation muss du versuchen, Betriebe von deiner Motivation und Ernsthaftigkeit zu überzeugen. Durch die Unpünktlichkeit hast du ja ganz klar zu erkennen gegeben, dass du deine Arbeit (und den Betrieb) eben nicht ernst nimmst.
Du hast Folgendes geschrieben:
"Ich habe oft länger gearbeitet, war IMMER flexibel, habe manchmal Auslieferungen mit meinen Privatwagen gemacht, weil es auf meinem Weg nach Hause lag. Trotzdem ist die Unpünktlichkeit ein großer Fehler."
Einsatz zum Vorteil der Firma, auch wenn er nicht gefordert ist, Flexibilität, Zupacken, wenn es erforderlich war ... na, das sind doch erwähnenswerte Punkte! Um künftig das Drama der Unpünktlichkeit einfach zu umgehen, könntest du versuchen, eine Fahrgemeinschaft mit anderen zu machen. Erstens kosten die Fahrten dann nicht so viel und zweitens werden dir die anderen an die Gurgel gehen, wenn du sie warten lässt. Das sollte Abschreckung ;-) genug sein.
Ich wünsche dir viel Erfolg und jetzt lifte deine Sitzbacken und schwing die Hufe!
Genau das wollte ich auch vorschlagen. Ist der beste Tipp.