Frage von nn1522, 43

Aufstellen von Funktionsgleichungen mithilfe von linearen Gleichungssystemen?

Gegeben ist eine ganzrationale 3. Grades. Einfache Nullstelle x=-3 und eine doppelte bei x=3. Ebenso verläuft die Funktion durch den Punkt (1/-6)

Ich muss dazu eine Funktionsgleichung aufstellen. Wie funktioniert das?

Antwort
von YStoll, 17

Jede ganzrationale Funktion 3. Grades ist darstellbar mit f(x) = ax³+bx²+cx+d
Oder aber mit z * (x+u)(x+v)(x+w), jeweils mit a, b, c, d, z, u, v, w € IR

Bei der zweiten Form lassen sich die Nullstellen sehr leicht ablesen, nämlich gerade -u, -v und -w.

Hilft dir das weiter?

Kommentar von nn1522 ,

nein leider nicht.. also ich arbeite immer mit f(x)= ax^3 und so weiter 

Bei dem Punkt zum Beispiel weiß ich was zu tun ist den muss man einfach einsetzten in diese Form. Aber was mit den nullstellen machen muss versteh ich leider überhaupt nicht..

Antwort
von Kesselwagen, 7

Hi...

Du nimmst den allgemeinen Ansatz f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d und stellst Bedingungen auf - indem Du x einsetzt:

  • I: -27a + 9b - 3c + d = 0
  • II: 27a + 9b + 3c + d = 0
  • III: a + b + c + d = -6

Dass eine doppelte Nullstelle existiert heißt, dass die Ableitung an x = 3 ebenfalls null sein muss:

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

  • IV: 27a + 6b + c = 0

Das ist jetzt ein lineares Gleichungssystem, dass Du z.B. mit dem Gaußverfahren lösen kannst:

  a   b   c   d                a  b  c  d   
-27 9 -3 1 | 0 1 0 0 0 | -3/8
27 9 3 1 | 0 Gauß 0 1 0 0 | 9/8
1 1 1 1 | -6 ---> 0 0 1 0 | 27/8
27 6 1 0 | 0 0 0 0 1 | -81/8

Die gesuchte Funktionsgleichung, die alle Bedingungen erfüllt lautet also 

f(x) = -3/8 x^3 + 9/8 x^2 + 27/8 x - 81/8

---

LG. Kesselwagen

Antwort
von Blvck, 12

f(x) = a(x-3)²(x+3)

-> -6 = a(1-3)² * (1+3)

a ausrechnen und ggf. die Klammern ausmultiplizieren

Antwort
von Lalevonlanzelot, 1

Hast du Glück dass ich in zwei Wochen Mathe Abi hab :D 

Also: zu aller erst wissen wir es ist eine Funktion dritten Grades also hat es die Grundform: ax^3 + bx^2 + cx + d

Nun wissen wir es verläuft durch den Punkt P(1|-6) also: a(1)^3 + ... + d = -6, das merken wir uns mal.

Ferner hat es eine einfache nullstellen bei -3 also: a(-3)^3 ... + d = 0 (ubd natürlich auch mit 3)

Da es eine doppelte nullstellen bei 3 hat wissen wir das die Ableitung von der Gleichung an der Stelle 3 = 0 ist. 

Ableitung: 3ax^2 + 2bx + c + 0d

So nun haben wir ein Gleichungssystem mit 4 Zeilen:

a + b + c + d = -6 P(1|-6)

-27a + 9b + (-3)c + d = 0 (nullstelle)

27a + 9b + 3c + d = 0 (dop nulstelle)

27a + 6b + c + 0d = 0 (Ableitung)

So nun wird es ein bisschen kompliziert, das Gleichungen Systems kann man auch wie folgt aufschrieben, weiß nicht ln ihr das schon so hattet:

1 + 1 + 1 + 1 | -6

-27 + 9 + (-3) + 1 | 0

27 + 9 + 3 + 1 | 0

27 + 6 + 1 + 0 | 0

So nun musst du dir überlegen wie du mit der ersten Zahl der ersten Spalte, also die 1, jeweils aus der erste Zahl aus den anderen Zeilen eine 0 machst. Für die zweite Zeile wäre das -27 + 27•1 in der Schreibweise II + 27•I. Das gleiche machst du nun mit den anderen Zahlen, für die dritte und letzte Zeile wäre das 27 - 27•1, also III - 27• I und IIII - 27 • I. Das musst du nun auf jede Zahl in der Zeile anwenden am Ende sieht das dann so aus, du holst dann immer die Zahl aus der ersten Zeile die über der Zahl aus der unteren Zeile ist:

1 + 1 + 1 + 1 | -6

0 + 36 + 24 + 28 | -162

0 + (-18) + (-24) + (-26) | 162

0 + (-21) + (-26) + (-27) | 162

Zur Erklärung 9 + 27•1=36, usw und 0 + 27•-6 = -162.

 So jetzt das gleiche, nur dass du mit der zweiten Zahl aus der zweiten Zeile, die zweite Zahl aus der dritten Zeile zur 0 machen musst, also (-18) + 0,5 • 36, anders ausgedrückt III + 0,5 • II. Für die letzte Zeile gilt (-21) + (7/12)•36, man kann es aber auch umformen zu 12•(-21) + 7•36, also 12•IIII + 7•III:

1 + 1 + 1 + 1 | -6

0 + 36 + 24 + 28 | -162

0 + 0 + (-12) + (-12) | 81

0 + 0 + (-144) + (-128) | 810

So noch ein letztes Mal: Die dritte Zahl aus der dritten Zeile mit der dritten Zahl aus der letzten. (-144) - 12• (-12) also IIII - 12•III:

1 + 1 + 1 + 1 | -6

0 + 36 + 24 + 28 | -162

0 + 0 + (-12) + (-12)| 81

0 + 0 + 0 + 16 | -162

Sooo jetzt formen wir mal die letzte Zeile wieder um. 0a + 0b + 0c + 16d = -162 umgeformt wissen wir also d= (-162/16) 

Das setzen wir eins oben drüber ein: 0a + 0b + (-12)c + (-12)•(-162/16)= 81, nach c aufgelößt c= (27/8)

Wieder eins drüber: 0a + 36b +24•(27/8)+28•(-162/16)=-162, umformen: b=9/8

Und das letzte ist dann a + 9/8 + 27/8 + (-162/16) = -6, also a = -3/8

Das Endergebnis müsste also nach meiner Berechnung, die theoretisch richtig, aber praktisch falsch weil irgendwo bestimmt ein Rechenfehler ist lauten:

y=(-3/8)x^3 + (9/8)x^2 + (27/8)x + (-162/16)

Kommentar von Lalevonlanzelot ,

OMG ES IS RICHTIG ICH HAB ES IN EINEN GRAPHENZEICHNER EINGEGEBEN ICH WÜRDE SAGEN MEIN MATHE ABI KANN KOMMEN

Antwort
von 22082000, 12

Die einzelnen vorgegebenen Bedingungen übersetztst du in eine Gleichung:

Kommentar von nn1522 ,

achso also alles in die Form einsetzten. Und wie komm ich dann auf die Ergebnisse a,b,c und so weiter? 

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