Frage von Invictu520, 20

Aufleitungen/Stammfunktionen/integrale?

So da ich im Internet nirgends was gefunden habe und anscheinend zu blöd für Mathe bin wollte ich mal um Hilfe bitten. Wie schon erwähnt handelt es sich um Integrale besser gesagt eigentlich nur um das Aufleiten. Ich hab hier Aufgaben wie z.B

Int[x*ln(x) dx] Int[cos(x)/sin(x)] Int[cos(wurzel(x)) ]

und an denen häng ich irgendwie. Ich habe online paar Lösungen gefunden und habe versucht ein paar kryptische Erklärungen zu entschlüsseln was mir leider nicht gelang. Es wäre sehr nett wenn man mir einfach nur mal sagen könnte welche Regeln ich da verwenden muss (partielle Integration oder andere Regeln) bzw. wie ich bei solchen, schon etwas komplexeren Integralen Aufleiten muss.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von everysingleday1, Community-Experte für Mathe, 13

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = cos(x) / sin(x).

Man erkennt, dass im Zähler die Ableitungs des Nenners steht, denn es gilt

u(x) = sin(x), u'(x) = cos(x).

Dann folgt

int( cos(x) / sin(x) )dx = ln( sin(x) ) + c.

................

Gegeben sei die Funktion g mit g(x) = cos( sqrt(x) ).

Substituiere t := sqrt(x). Dann ist dt / dx = 1 / (2sqrt(x)) = 1 / (2t), somit

dx = 2t dt.

Dann erhalten wir

int( cos( sqrt(x) ) )dx = int( cos(t) * 2t )dt =

2int( t cos(t) )dt. Das wird jetzt partiell integriert.

2int( t cos(t) )dt = 2 t * sin(t) - 2 int( 1 * sin(t) )dt =

2t sin(t) + 2 cos(t) + c. Abschließend wieder resubstituieren.

int( cos( sqrt(x) ) =

2sqrt(x) sin( sqrt(x) ) + 2 cos( sqrt(x) ) + c.

................

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Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 20

http://matheguru.com/rechner/integrieren/

versuchs mal hier

Antwort
von eumel123321, 17

Int[x*ln(x) dx]:

partielle Integration und zwar so, dass x abgeleitet wird.

Int[cos(x)/sin(x)]:

auch bekannt als Cotangens. Lässt sich in einer Integraltabelle nachschlagen.

Int[cos(wurzel(x)) ]:

zuerst Integration durch Substitution, du substituierst wurzel(x)

und anschließender partieller Integration

Links:

https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle\_Integration

https://de.wikipedia.org/wiki/Integration\_durch\_Substitution

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