Frage von irgendetwas1234, 23

Auf Linearkombination prüfen?

Guten Tag,

ich arbeite mich gerade durch meinen Mathe Stoff für eine Nachprüfung und bin über dieses Aufgabe gestolpert:

Prüfen Sie, ob die Vektoren U = (5,3,2,1) und [...] Linearkombinationen der Vektoren a = (1,0,2,0), b = (3,-1,1,1) und c = (1,4,0,-2) sind.

Leider kann ich damit jetzt nicht direkt was anfangen, ich kann mir vorstellen, dass ich das als LGS lösen müsste, aber sicher bin ich mir nicht.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 14

Hallo,

Du könntest auch eine 4x4-Matrix aus den Vektoren aufstellen und prüfen, ob ihre Determinante Null ergibt - dann wären sie nämlich linear abhängig und würden keinen vierdimensionalen Raum aufspannen.

Da eine solche Determinante aber nicht mal eben nach der Sarrus-Regel bestimmt werden kann, kannst Du auch gleich ein Gleichungssystem aufstellen und sehen, ob es eine Lösung gibt. Findest Du eine - abgesehen vom Nullvektor oder davon, daß alle Parameter auf Null gesetzt werden, sind die Vektoren linear abhängig.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von irgendetwas1234 ,

Hätte ich dann nciht eine 4x3 Matrix mit einer Lösungsspalte? Determinante/ LGS geht doch afaik nur mit einer Quadratischen Matrix, oder vertausche ich was?
Also, meine Matrix würde jetzt so aussehen:

5 = 1r+3s+1t
3 = 0r-1s+4t
2 = 2r+1s+0t
1 = 0r+1s-2t

Als Matrix wären ja die Variablen erstmal weg und statt der Gleichheitszeichen der Strich nach unten mit dem Lösungsvektor danach. Wäre dann eine 4x3 Matrix, oder?

Kommentar von Willy1729 ,

Der Lösungsvektor zählt ja mit. Dann ist es wieder 4x4.

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten und vier Gleichungen, und es wird ziemlich bald klar, daß es keine Lösung hat, daß die Vektoren also tatsächlich linear unabhängig sind.

Kommentar von Willy1729 ,

Die Determinante ist übrigens 42 (hier ist die 42 mal eine ernsthafte Antwort), wenn's Dich interessiert.

Ich habe die Matrix nach der ersten Spalte entwickelt, was weniger Arbeit bedeutet, weil da schon zwei Nullen stehen, Du Dir also die Bestimmung zweier Unterdeterminanten sparen kannst.

Wenn Du das Gleichungssystem so umformst, daß in einer Reihe oder Spalte gar drei Nullen stehen, mußt Du nur noch eine Determinante einer 3x3-Untermatrix bestimmen. Das geht mit der Sarrusregel schneller als die Lösung eines Gleichungssystems.

Kommentar von irgendetwas1234 ,

Okay, danke dir, habs verstanden :)

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