Frage von juli5634, 15

Auf einen Übungszettel für Differentialrechnung sind Beispiele, wo ich die Lösung nicht verstehe, könnte mit jemand den Lösungsweg erklären?

Berechnen SIe die 1. Ableitung folgender Brüche: (hier muss man die Quotientenregel anwenden). a) y=sin(x)/2x, b) y=sin(x) +cos(x)/x , c) y=sin(x)+cos(x)/sin(x)/cos(x)

Bei diesen Beispielen habe ich ganz normal differenziert und mit der Quotientenregel gearbeitet. Nur ist die Lösung komplett anders.

Lösung: a) y'=x.cos(x)-sin(x)/2x^2, b) y'=(x-1)cos(x)-(x+1)sin(x)/x^2 c) y'=sin(x)/cos(x)^2-cos(x)/ sin(x) ^2

Entweder verstehe ich das ganze komplett falsch oder die Lösung stimmt nicht ganz was ich aber nicht annehme. Danke schon mal im vorraus, Julian

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathematik, 15

a.)

Du hast hier leider nicht mit Klammern gearbeitet :-((

Ich vermute dass es y = sin(x) / (2 * x) heißen soll anstelle von y = (sin(x) / 2) * x

f(x) = sin(x) / (2 * x)

1.) Faktorregel anwenden

f(x) = (1 / 2) * sin(x) / x

f(x) = (1 / 2) * g(x) mit g(x) = sin(x) / x

Faktor ist (1 / 2)

2.) Quotientenregel anwenden

g(x) = m(x) / n(x)

g´(x) = (n(x) * m´(x) - m(x) * n´(x)) / n(x) ^ 2

m(x) = sin(x)

n(x) = x

m´(x) = cos(x)

n´(x) = 1

g´(x) = (x * cos(x) - sin(x)) / x ^ 2

g´(x) = cos(x) / x - sin(x) / x ^ 2

g´(x) = (1 / x ^ 2) * (x * cos(x) - sin(x))

Jetzt kommt noch der Faktor (1 / 2) dazu, denn wir weggelassen hatten -->

f´(x) = 1 / (2 * x ^ 2) * (x * cos(x) - sin(x))

Selbstverständlich habe ich die Lösung auch überprüfen lassen -->

http://goo.gl/NtpHuR

Kommentar von DepravedGirl ,

b.)

f(x) = sin(x) + cos(x) / x

f(x) = h(x) + k(x) / I(x)

h(x) = sin(x)

h´(x) = cos(x)

k(x) = cos(x)

k´(x) = -sin(x)

I(x) = x

I´(x) = 1

j(x) = k(x) / l(x)

j´(x) = (I(x) * k´(x) - k(x) * I´(x)) / I(x) ^ 2

j´(x) = (x * (-sin(x)) - cos(x)) / x ^ 2

j´(x) = (-x * sin(x) - cos(x)) / x ^ 2

j´(x) = -(sin(x) / x + cos(x) / x ^ 2)

f´(x) = h´(x) + j´(x)

f´(x) = cos(x) - (sin(x) / x + cos(x) / x ^ 2)

f´(x) = cos(x) - (1 / x ^ 2) * (x * sin(x) + cos(x))

Die Lösung habe ich wieder überprüfen lassen -->

http://goo.gl/MKMvct

Kommentar von DepravedGirl ,

c.)

f(x) = sin(x) + cos(x) / sin(x) / cos(x)

Dafür kann man auch schreiben -->

f(x) = sin(x) + cos(x) / (cos(x) * sin(x))

f(x) = g(x) + h(x) / I(x)

g(x) = sin(x)

g´(x) = cos(x)

h(x) = cos(x)

h´(x) = -sin(x)

I(x) = cos(x) * sin(x)

I(x) = j(x) * k(x)

j(x) = cos(x)

j´(x) = -sin(x)

k(x) = sin(x)

k´(x) = cos(x)

Produktregel -->

I´(x) = j´(x) * k(x) + j(x) * k´(x)

I´(x) = -sin(x) * sin(x) + cos(x) * cos(x)

I´(x) = -sin^2(x) + cos^2(x)

m(x) = h(x) / I(x)

Quotientenregel -->

m´(x) = (I(x) * h´(x) - h(x) * I´(x)) / I(x) ^ 2

m´(x) = (cos(x) * sin(x) * (-sin(x)) - cos(x) * (-sin^2(x) + cos^2(x))) / (cos(x) * sin(x)) ^ 2

m´(x) = (-cos(x) * sin^2(x) + cos(x) * sin^2(x) - cos^3(x)) / (cos(x) * sin(x)) ^ 2

m´(x) = (- cos^3(x)) / (cos(x) * sin(x)) ^ 2

m´(x) = -cos(x) / sin^2(x)

f´(x) = g´(x) + m´(x)

f´(x) = cos(x) - cos(x) / sin^2(x)

f´(x) = cos(x) * (1 - 1 / sin^2(x))

Das habe ich selbstverständlich auch wieder überprüfen lassen -->

http://goo.gl/xz2CNU

Kommentar von juli5634 ,

Danke für die ausführliche Hilfe !

Ich hätte nur eine Frage. Zu der Seite wo du deine Lösungen überprüfen lassen hast. Wie funktioniert die? Kann ich bei dieser eine Funktion eingeben und sie wird von der Seite differenziert. Wäre sehr hilfreich, wenn ich wissen will ob meine Lösung stimmt.

Lg,

     Julian 

Kommentar von DepravedGirl ,

Diese Seite heißt Wolfram Alpha -->

http://www.wolframalpha.com/

Du kannst zum Beispiel folgendes eingeben -->

derivate (x^3+x^2)

oder

(x^3+x^2)´

Dann erhältst du die Ableitungen.

Kommentar von DepravedGirl ,

Diese Webseite kann ich ebenfalls empfehlen -->

http://goo.gl/Hlqyg1

Eignet sich zwar nicht ganz so gut zum überprüfen, zeigt dafür aber den kompletten Rechenweg an, ohne das man was bezahlen muss.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 14

a) f(x)=1/2 * sin(x) * x^(-1) => (mit Produktregel)
  f'(x)=1/2 * (cos(x)*x^(-1) + sin(x)*(-x^-2))
        =1/2 * (cos(x)/x - sin(x)/x²)
b) (mit Produktregel)
    f'(x)=cos(x) + (-sin(x)/x + cos(x)*(-x)^-2)
          =cos(x) -sin(x)/x - cos(x)/x²

c) f(x)=sin(x)+cos(x)/sin(x)/cos(x)=sin(x)+cos²(x)/sin(x)
[Ableitung cos(x)*cos(x)=-sin(x)*cos(x)+cos(x)*(-sin(x))=-2*sin(x)*cos(x)]

(mit Quotientenregel)
  f'(x)=cos(x)+ (-2*sin(x)*cos(x)*sin(x)-cos²(x)*cos(x)/sin²(x))
        =cos(x) -((2*sin²(x)*cos(x)+cos³(x))/sin²(x))
        =cos(x) - 2*cos(x) - cos³(x)/sin²(x)
       =-cos(x)-cos³(x)/sin²(x)

also scheinen die vorgegebenen Lösungen falsch zu sein!

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community