Frage von lillilalaa, 51

Arithmetische Folge - Matheaufgabe?

In meinem Mathebuch steht eine Aufgabe, welche so lautet: In einer arithmetischen Folge von 20 Gliedern ist die Summe der beiden mittleren Glieder gleich 60, das Produkt der beiden äußersten Glieder ist 87,5. Berechnen Sie diese vier Glieder.

Nun frage ich mich, wie man dies berechnen soll, da weder eine Differenz noch ein Glied direkt gegeben ist.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 11

Hallo,

bei einer arithmetischen Folge mit einer geraden Zahl von Gliedern ist die Summe der beiden mittleren Glieder dieselbe wie die Summe des ersten und des letzten Gliedes.

Wenn Du das erste Glied x nennst, dann ist das 20. Glied x+19y, wobei y der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern ist.

So kannst Du zwei Gleichungen aufstellen:

x+x+19y=60, also 2x+19y=60, also 19y=60-2x

und x*(x+19y)=87,5

Da 19y=60-2x ist, kannst Du die zweite Gleichung umformen:

x*(x+60-2x)=87,5

x*(-x+60), also -x²+60x-87,5=0

Für diese quadratische Gleichung gibt es zwei Lösungen:

x=58,504 oder x=1,496

Da 19y=60-2x ist, ist y=(60-2x)/19, was im ersten Fall zu y=-3,0004,

im zweiten Fall zu y=3,0004 führt.

So lautet die Folge also entweder 58,504-3,0004*n

oder 1,496+3,0004*n

Probe:

1,496+58,504=60

1,496*58,504=87,5 (Alle Ergebnisse gerundet)

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 4

Das Stichwort ist "arithmetische Folge", d.h. die Differenz aufeinander folgender Glieder ist konstant. Deshalb kann man auch sagen, dass, wenn d diese Differenz ist, dass
i[10] = i[01] + 9d =: a+9d (a wie Anfang).
Es ist auch
a(a+19d)=a²+19ad=87,5
2a+19d=60.
2 Gleichungen, 2 Variablen.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 8

a20 = a1 + 19d

a10 = a1 + 9d

a11 = a1 + 10d

----------------------------------------------

a10 + a11 = 60

a1 • a20 = 87,5

jetzt die oberen hier einsetzen

und a1 und d berechnen.  2 Gleichungen, 2 Unbekannte.

usw


Antwort
von Hallo99559, 13

Die beiden mittleren Glieder sind an Stelle 10 und 11. Der Anstieg der Folge sei a. i[x] sei die x-te Stelle der Folge. Es gilt nun:

i[10]+i[11]=60

i[11]-i[10]=a

i[1]*i[20]=87,5

i[1]+9a=i[10]

i[11]+9a=i[20]

Das sind fünf unbekannte Variablen und fünf Gleichungen. Sollte lösbar sein.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community