Frage von hadisosl, 32

archimedisches pirnzip formel stimmt diese?

hallo ich hab viel im internet nach geschaut und kam zum entschluss die formel für die antriebskraft ist Fa=pVg ich verstehe diese formel nicht kann mir sie jemand erklären

Antwort
von poseidon42, 8

In erster Näherung lässt sich aussagen, dass Wasser inkompressibel ist.

(---> konstante Dichte des Wassers)

Betrachten wir nun einen vollständig in ein homogenes "Wasserbecken" eingetauchten Würfel. Sein Mittelpunkt befinde sich dabei in der Tiefe T unter der Wasseroberfläche.

Das Wasser eingeschlossen in einem Volumen dV mit der Dichte D erfährt eine Gravitationskraft, diese kann über die bekannte Formel:

F_g = m*g  berechnet werden.

Hier folgt für die Masse des des mit Wasser gefüllten Volumens:

F_g = dV*D*g

Bezogen auf eine Fläche dA erhalten wir somit den so genannten Schweredruck:

p_g = dV*D*g/dA

Das Volumen auf das wir uns hier beziehen ist eine "Wassersäule" auf der zur Wasseroberfläche parallele Fläche dA in der Tiefe T. Es folgt damit das Volumen zu:

dV = dA*T

Eingesetzt und durch kürzen durch dA erhalten wir:

p_g = D*g*T


Nun sei gegeben, dass das Wasser sich nicht bewegen soll. Demnach folgt der Druck zu:

p_ges = p_g + p_Luft = D*g*T + p_Luft


Wichtig an der Stelle ist noch zu wissen, dass der Druck unter diesen Annahmen in einer konstanten Tiefe T ebenfalls konstant ist und in alle Richtungen gleich stark wirkt:

Damit können wir uns schnell vergewissern, dass der vom Wasser ausgeübte Druck auf die Seitenflächen keinen Einfluss auf das Objekt hat, da sich diese gegenseitig aufheben.

Anders ist es jedoch mit der Ober- und Unterseite des Würfels. So wirkt auf die Oberseite des Würfels der Druck:

(T sei nun der Abstand der Oberfläche des Würfels zur Wasseroberfläche)

p_oben = D*g*T + p_Luft

Und bei einer Höhe h des Würfels auf die Unterseite:

p_unten = D*g*(T + h) + p_Luft

Wir bilden nun die Differenz von beiden und erhalten:

p_unten - p_oben = D*g*h = dp   <--- nach oben gerichteter Druck

Somit bekommen wir die Auftriebskraft durch die Multiplikation der Grundfläche des Würfels dA, und wir erhalten:

F_Auftrieb = dp*dA = dV_Würfel *g*D

(mit  h*dA = dV_Würfel)


Wobei dV_Würfel das vom Würfel verdrängte Volumen von Wasser ist, D die Dichte von Wasser und g die Beschleunigungskonstante. Somit lautet die Nettokraft in diesem Fall:

F_ges = Fg_Würfel - F_Auftrieb

= m_Würfel *g - dV_Würfel *D_Wasser *g

= dV_Würfel * D_Würfel *g - dV_Würfel *D_Wasser *g


Für den Fall, dass der Würfel vollständig in das Wasser getaucht "schweben" soll folgt Fges = 0, und damit durch Umformen:

D_Würfel = D_Wasser


Das Prinzip lässt sich verallgemeinern auf nur teilweise eingetauchte beliebig geformte Körper, wir erhalten als Ergebnis:

F_Autrieb = dV_verdrängt * D_Wasser * g

wobei dV_verdrängt dem Volumen des vom eingetauchten Körpers verdrängte Wassers entspricht.


Antwort
von Bellefraise, 20

In Worten lautet das Prinzip:

Die Auftriebskraft eines Körpers in einer Flüssigleit ist genau so goß wie das Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge.

Sollen wir es noch math herleiten?

Kommentar von hadisosl ,

also wie dann würde aber auftriebskraft und gewichtskraft gleich sein

Kommentar von Bellefraise ,

Achtung: es gilt das Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge

und das ist : G_flüss = rho_flüss * G * V_körper.

Wobei V_flüss = V_körper oder das TEILVOLUMEN eines teilweise eingetauchten Körpers bedeutet

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