AOK hat Zusatzversicherung unter falschen Bedingungen angeboten

Ich habe, um eine größere Zahnbehandlung finanzieren zu können (darunter auch eine professionelle Zahnreinigung), Rücksprache mit der AOK gehalten und daraufhin eine Zusatzversicherung abgeschlossen, die die AOK mit der UKV als Partner anbietet. Mir wurde mehrfach versichert, dass der Versicherungsbeginn ab dem Folgetag des Abschlusses (sprich, der Antragsunterzeichnung mit der AOK) gilt. Die UKV übersandte mir allerdings erst einen Monat später die Versicherung, deren Beginn auf den Anfang des Folgemonats ausgewiesen war. Ich hatte inzwischen aber schon mit der Zahnbehandlung begonnen, im Glauben, durch die Versicherung wie abgesprochen gedeckt zu sein. Als ich daraufhin bei der AOK nachfragte, wie das zu verstehen sei, meinte die Mitarbeiterin, dass die UKV so nicht vorgehen könne (zumal angeblich der am 13.12. von mir unterzeichnete und von der AOK-Mitarbeiterin an die UKV weitergeleitete Antrag erst im Januar bei der UKV eingegangen war...), aber ihre Versuche einer entsprechenden Klärung mit der UKV blieben erfolglos. Nun will sie AOK-intern nach einer Lösung suchen, mir zumindest teilweise eine Erstattung zu gewähren. Meine Frage: Wäre es nicht ohnehin die Aufgabe der AOK, dafür zu sorgen, dass mir keine Mehrkosten im Vergleich zu jenen entstehen, die ich gehabt hätte, wenn die Versicherung, wie von der AOK versprochen, gegriffen hätte? Dass ich aufgrund falscher Informationen Leistungen in Anspruch genommen habe, die ich mir sonst nicht hätte leisten können, ist ja nicht mein Fehler. Für jegliche Informationen, auch darüber, welche Schritte ich evtl. unternehmen kann, wäre ich sehr dankbar!