Frage von JupiterJazz, 36

Anzahl der k-Kombinationen mit a Elementen b1 aus einer n-Menge?

Hallo,

interessant ist die Anzahl der k-Kombinationen, bei denen ein Element "a" aus einer n-Menge b-mal (oder genau b-mal) vorkommt. Beispiel: Ich würfele 4-mal und interessiere mich für die Anzahl der Kombinationen mit zwei Einser. Es sind 4-Kombinationen aus 6-Menge mit Wiederholung. Wenn die Gesamtanzahl der Kombinationen (4 aus 9) 126 ist, dann ist es mir doch schwierig zu sagen, wie viel davon zweimal "1" ethalten, oder dreimal "drei".

Wenn man in einfachen Fällen das Baumdiagramm oder Ähnliches benutzen kann, wird es schwieriger, wenn der Würfel 20-mal oder 1000-mal geworfen wird. Die kombinatorische Lösung ist verlangt.

Wie werden Sie vorgehen? Ich werde für einen hilsfreichen Gedanke oder einen theoretischen Hinweis sehr dankbar.

Mfg, JJ

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 25

Hallo,

Stichwort Bernoullikette.

Die zwei Einser können sich auf 4 über 2, also auf 4!/(2!*2!)=24/4=6 Arten auf die vier Würfelvorgänge verteilen.

Das mußt Du multiplizieren mit der Chance, zwei Einser zu würfeln, also mit (1/6)² und mit der Chance, zweimal keinen Einser zu würfeln, also (5/6)².

Zusammen ergibt das 6*1/36*25/36=0,1157 oder 11,57 %.

Allgemein:

Die Chance bei n Versuchen bei einer Wahrscheinlichkeit von p für einen Treffer, k Treffer zu erlangen, ist gleich (n über k)*p^k*(1-p)^(n-k)

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von JupiterJazz ,

Vielen Dank! Das ist aber die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignises, gesucht ist aber die Mächtigkeit einer Teilmange der Kombinationen aus einer Gesamtmenge der Kombinationen.

Kommentar von Willy1729 ,

Das sollte über den Binomialkoeffizienten n über k zu berechnen sein. 

Antwort
von iokii, 23

Du nimmst dir die Anzahl der Kombinationen, die mit "11" anfangen, und multiplizierst sie mit der Anzahl an Möglichkeiten, wo die beiden einsen stehen können (2 aus 4).

Kommentar von JupiterJazz ,

Man bekommt die Anzahl der 4-Tupel mit zwei Einsen. Es gibt 10 Kombinationen mit 2 Einsen. Wie kommt man aufs zehn?

Kommentar von iokii ,

10 ist sicherlich falsch, zumindest bei normalen Würfeln, da du ja schon, wenn die ersten beiden 1 und 1 sind, du noch 25 Möglichkeiten für die letzten beiden hast.

Kommentar von JupiterJazz ,

Hast recht, ich sollte die Aufgabe präzisieren, sorry. Die zwei anderen Zahlen sollen uterschiedlich zu 1 und zueinander sein. Also, die folgende 10 meine ich:
1123, 1124, 1125, 1126, 1134, 1135, 1136, 1145, 1146, 1156

Kommentar von iokii ,

Für so spezifische Fragestellungen gibt es natürlich keine allgemeine Formel, da muss man dann selbst drüber nachdenken.

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