Frage von marischen, 30

Antikommutator von Spinoperatoren gleich Null. Jemand eine Idee, weshalb?

Hallo, ich hätte eine Frage zur Quantenmechanik. Ich habe in meinen Unterlagen stehen, dass der Antikommutator

{ŝ_x,ŝ_y} = ((ŝ_+)^2- (ŝ_-)^2)/(2i) = 0

ist? Wenn ich dies auf einen Zustand wie |↓〉oder |↑〉anwende, erscheint mir das auch ganz logisch, aber so?

Hätte jemand eine Idee hierzu?

Vielen Dank!!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 6

Nun, es gibt ja die Besonderheit der Spin-½-Teilchen, dass sie sich nach Wolfgang Paulis Prinzip nicht am selben Ort im selben Zustand befinden können.

Ich nehme an, dass es damit zusammenhängt, habe aber momentan keine stringente Begründung dafür parat. 

Wenn ich dies auf einen Zustand wie |↓〉oder |↑〉anwende, erscheint mir das auch ganz logisch…

Wenn Du daraus stringent begründen kannst, warum der Antikommutator zweier unterschiedlicher Pauli-Matrizen Null sein muss (es gibt eine noch strenger  antivertauschende mathematische Strukturen, die sog. Grassmann-Algebra, deren Elemente zu 0 quadrieren), bist Du bereits am Ziel.

So wie man physikalische Größen (in der QM Observable genannt) normalerweise nicht direkt sieht, sondern an ihren Auswirkungen erkennt, so ist an Operatoren auch nicht die konkrete Gestalt das Wesentliche, sondern ihre Auswirkungen auf einen Zustand, etwa, ob der ein Eigenzustand ist.

Es gibt freilich noch eine tiefer gehende Begründung dafür, dass unterschiedliche Spinoperatoren (eigentlich ja Spin-½-Operatoren) miteinander antivertauschen:

Die Pauli-Matrizen, die Grundlage der Spin-Operatoren, treten als Untermatrizen in den Dirac-Matrizen γ^µ bzw. γ_µ auf, die in den Operatoren der Impulse in der Dirac-Gleichung 

(1) (iħγ^{µ}·∂_[µ] – mc)ψ(x^{µ}) = 0,    µ=0,1,2,3

enthalten sind, wobei Einsteins Summenkonvention Anwendung findet.

Paul Dirac kam 1928 auf diese Gleichung auf der Suche nach einer Lorentz-kovarianten Gleichung 1. Ordnung, also einer Gleichung, welche die SRT berücksichtigt.

Bereits zwei Jahre zuvor hatten Oskar Klein und Walter Gordon die Gleichung

(2) (–ħ²∂^{µ}∂_[µ] – m²c²)ψ(x^{µ}) = 0

gefunden, die der relativistischen Energie-Impulsbeziehung in ausquadrierter Form

(3.1) p^{µ}p_[µ] – m²c² = (E/c)² – <p|p> – m²c² = 0

entspricht. Sie ist freilich 2. Ordnung, und aus ihr lassen sich keine positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichten generieren. Für die radizierte Form

(3.2) √{p^{µ}p_[µ]} = √{E/c)² – <p|p>} = mc 

(Betrag des Viererimpulses) gab es erst mal keine quantenmechanische Entsprechung, da Differenzialoperatoren unter Wurzeln keinen Sinn ergeben.

Das Problem löste Dirac 1928 durch die geniale Idee, Koeffizienten einzuführen, deren Quadrat 1 ist und die untereinander antivertauschen, sodass die gemischten Terme verschwinden. So liefert das Quadrat der Operatoren in (1) eben (2), sodass ψ auch der Klein-Gordon-Gleichung »gehorcht«, was wegen (3.1) ja der Fall sein muss.

Es ist üblich, die Dirac-Matrizen als komplexe 4×4-Matrizen zu schreiben, sodass ψ zu einem Vektor mit 4 Komponenten wird (natürlich einen Vektor aus skalaren Wellenfunktionen, die zueinander proportional sind).

Die ersten beiden stehen für Materieteilchen, die letzten beiden für ihre Antiteilchen (bei hohen Energien treten sie stets zusammen auf), und von jedem paar steht je eine für eine Spin-Ausrichtung relativ zu einer gegebenen Achse.

Die relativistische Quantenmechanik sagt also sowohl Antiteilchen als auch den Spin vorher.

Kommentar von marischen ,

Hallo SlowPhil,

vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Ich denke, es ist so nachvollziehbar. Möglicherweise sollte es auch tatsächlich mit den Zustandsvektoren begründet werden.

Antwort
von zalto, 6

Im gegebenen Fall: Schreibe halt die entsprechenden Antikommutator-Relation in Form von Pauli-Matrizen hin und rechne die Ausdrücke aus. Da kommt dann die Nullmatrix heraus.

Im allgemeinen Fall: Warum das so ist? Da muss man wohl tiefer in Gruppen- und Ringtheorie einsteigen.

Kommentar von marischen ,

Zunächst einmal vielen Dank! In der zugehörigen Aufgabenstellung war jedoch gefordet, dass es ohne die expliziten Matrixdarstellungen der Spinoperatoren gezeigt werden sollte.

Kommentar von zalto ,

Da bin ich raus. Wenn es nicht auf Basis konkreter Matrixdarstellungen gezeigt werden soll, sondern allgemein, landet man irgendwo bei mathematischen Strukturen der Lie-Gruppe SU(2).

Oder man darf auf bereits gegebene und als bekannt anzunehmende Identitäten zurückgreifen.

Kommentar von marischen ,

Schade, aber nochnmals vielen Dank für die schnellen Antworten! Ich habe auch auf einige Identitäten gehofft, da ich leider keine passenden im Skript/Internet gefunden habe...

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