Frage von DerJunker, 24

Ansatz für die partikuläre Lösung der folgenden Differentialgleichung?

Hi, ich hab in Math folgende Aufgabe undbrauche einen Ansatz für die partikuläre Lösung.

y''+4y = sin(2x) + 1,
y(0)=1/4,
y'(0)=1

Vielen Dank im Vorraus DerJunker

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 10

WolframAlpha kennt die Lösung für die Verallgemeinerung y´´ + a * y = g(x)

http://goo.gl/ASAo8A

Für deinen Fall -->

http://goo.gl/23Mm2s

Die Ableitung von y(x) = c _ 2 * sin(2 * x) + c _ 1 * cos(2 * x) - 1 / 4 * x * cos(2 * x) + 1 / 4 ist -->

http://goo.gl/EfmJQr

---------------------------------------------------------------------------------------------------

y(x) = c _ 2 * sin(2 * x) + c _ 1 * cos(2 * x) - 1 / 4 * x * cos(2 * x) + 1 / 4

y´(x) = -2 * c _ 1 * sin(2 * x) + 2 * c _ 2 * cos(2 * x) + 1 / 2 * x * sin(2 * x) - 1 / 4 * cos(2 * x)

Rechnung im Bogenmaß -->

1 / 4 = c _ 2 * sin(2 * 0) + c _ 1 * cos(2 * 0) - 1 / 4 * 0 * cos(2 * 0) + 1 / 4

1 / 4 = c _ 1 + 1 / 4

Daraus folgt, dass c _ 1 = 0 sein muss.

1 = -2 * c _ 1 * sin(2 * x) + 2 * c _ 2 * cos(2 * 0) + 1 / 2 * 0 * sin(2 * 0) - 1 / 4 * cos(2 * 0)

Da c _ 1 = 0 ist, und auch sonst, vereinfacht es sich noch -->

1 = 2 * c _ 2 - 1 / 4 | + 1 / 4

5 / 4 = 2 * c _ 2 | : 2

c _ 2 = 5 / 8

y(x) = (5 / 8) * sin(2 * x)  - 1 / 4 * x * cos(2 * x) + 1 / 4

y´(x) = cos(2 * x) + x * sin(x) * cos(x)

y´´(x) = x * cos(2 * x) - 3 * sin(x) * cos(x)

Anmerkung -->

Wenn du bei WolframAlpha diese PRO-Mitgliedschaft hast, was etwas kostet, dann kannst du dir den kompletten Rechenweg anzeigen lassen, ob der etwas taugt oder verständlich genug ist, das kann ich dir nicht sagen, sorry.

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