Frage von dearbambi, 71

Analytische Geometrie - Hilfe beim Lösen benötigt?

Guten Abend,

bitte entschuldigt die späte Fragezeit.

Mir macht leider schon den ganzen Tag eine Aufgabe zu schaffen, die ich bisher so nicht lösen konnte.

Vorab: Nein, es ist keine Hausaufgabe, ansonsten hätte ich den Mut dazu und würde es offen sagen. Ich beschäftige mich in meiner wenigen Freizeit einfach nur sehr gerne mit Mathematik. :-)

Die Aufgabenstellung lautet:

Widerlege entsprechend die folgenden Behauptungen:

1) Für alle natürlichen Zahlen n ist n^2 + n + 17 eine Primzahl. 2) n^2 + n + a ist für n=a stets keine Primzahl.

Nun bin ich derzeit völlig ahnungslos darüber, wie ich da vorgehen soll.

Über einen Lösungsansatz und Lösungsfindung mit kurzer Erklärung wäre ich Euch daher sehr sehr dankbar.

Viele Grüße

Antwort
von FuHuFu, 11

Eine Behauptung widerlegt man, indem man ein Gegenbeispiel angibt.

Die erste Behauptung lautet: 

Für alle natürlichen Zahlen n ist n^2 + n + 17

Um diese Behauptung zu widerlegen, musst Du eine natürliche Zahl n finden, für das n^2 + n + 17 keine Primzahl ist. Das kannst Du durch ausprobieren tun. Du kannst auch ein bisschen überlegen. Dann schreibst Du Dir den Ausdruck um

 n^2 + n + 17 = n (n+1) + 17. Du hast also eine Summe aus n (n+1) und 17.
Wenn n (n+1) durch 17 teilbar ist, dann ist es auch die Summe,
Also wenn n = 17 oder n = 16, dann ist der Ausdruck durch 17 teilbar und keine Primzahl.

Die zweite Behauptung lautet:

n^2 + n + a ist für n=a stets keine Primzahl.Also setzen wir n=a ein, Dann lautet der Ausdruck

n^2 + n + n = n^2 + 2n = n (n+2) und das ist immer durch n und n+2 teilbar. Eine Zahl ist eine Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selber teilbar ist. Deshalb kann n (n+2) für n<>1 keine Primzahl sein. 
n=1 müssen wir separat testen. Für n=1 ergibt sich der Wert 3. Das ist eine Primzahl.
Also haben wir ein n gefunden (nämlich n=1), für das  n^2 + n + a ist für n=a eine Primzahl ist. Damit ist die Begauptung widerlegt.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 9

Wenn du eine Behauptung widerlegen, sollst, reicht es meist schon, ein Gegenbeispiel zu finden oder diese Behauptung so weit auszuführen, bis sie zu einem Widerspruch führt.

Zu 1)

Mathematisch: ∀x∈ℕ: n² + n + 17 ist eine Primzahl

Diese Behauptung gilt es zu widerlegen:

Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist.

Jetzt müssen wir eine Zahl finden, die wir in die Gleichung einsetzen können, und die mindestens einen weiteren natürlichen Teiler besitzt.

Die Zahl 17 bietet sich sofort an.

Denn 17² + 17 + 17 = 17*17 + 2*17 = 19*17.

Und 19*17 ist durch 17 teilbar.

Behauptung widerlegt für x = 17.

Zu 2)

Mathematisch: ∀x∈ℕ: x² + x + x ist keine Primzahl

Man kann es vereinfachen zu:

∀x∈ℕ: x² + 2x ist keine Primzahl

Hier gibt es nur eine einzige Ausnahme: Die 1.

Denn 1² + 2*1 = 1 + 2 = 3 und 3 ist eine Primzahl.

Für jede Zahl größer 1 ist die Behauptung wahr, da gilt:

x² + 2x = x(x + 2)

Diese Zahl enthält sich logischerweise selbst als Teiler und zusätzlich noch x+2.

Damit hat sie schon zwei weitere Teiler und ist mit Sicherheit keine Primzahl mehr.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Kommentar von Karl37 ,

Beendet man heute nicht mehr mit q.e.d. Analysis Aufgaben. Zu meiner Zeit hätte das ein Punktabzug bedeutet

Kommentar von Willibergi ,

Beendet man Fragen heute nicht mehr mit Fragezeichen? ^^

Zu meiner Zeit und auch zu dieser Zeit hätte das Punktabzug bedeutet.

LG Willibergi 

Antwort
von Gaius99, 4

Für die erste Aufgabe ist es am einfachsten, ein Gegenbeispiel zu suchen, zum Beispiel gibt es: 100^2+100+17 = 10117 = 67*151, wobei es sicher viel kleinere schon gegeben hätte.

Wegen der zweiten Aufgabe muss ich auch überlegen... Was bedeutet eigentlich das 'entsprechend' in der Aufgabenstellung? Gab es also ein Beispiel an Beweisen zuvor?

Ach, war gar nicht so schwer: n^2 + n +a wird zu n^2 + 2n , wenn man a durch n ersetzt (n=a).

Diesen Term kann man faktorisieren:

n^2+2n = n (n+2) 

Da jede Zahl, die man erhält, wenn man ein beliebiges n einsetzt, die Teiler n und n+2 hat, handelt es sich nie um eine Primzahl, was zu beweisen war.

Kommentar von Gaius99 ,

Ach ne, da habe ich schlecht gelesen, man sollte es ja widerlegen, nicht beweisen, und da fällt mir auch prompt eine Ausnahme ein: wenn n=1 kommt aus dem Term 1^2+1+1 = 3 heraus, was eine Primzahl ist und damit ein Gegenbsp. zur Behauptung

Kommentar von einfachsoe ,

Zu 2: n=1 ergibt eine Primzahl

Kommentar von Gaius99 ,

Was hat das eigentlich mit analytischer Geometrie zutun ? ;D

Kommentar von kasiiiXD ,

Hey Gaius99 :) kannst du mir erklären, wie du das faktorisiert hast? Bin noch nicht so weit in Mathe in der Schule, oder habe nicht aufgepasst... xD jedenfalls würde mich das interessieren

Kommentar von Gaius99 ,

Bei n^2+2n kann man n ausklammern, weil es ein Faktor in beiden Summanden ist. Am besten verstehst du es wahrscheinlich, wenn du n(n+2) wieder ausrechnest: da muss man n mit jedem Summanden in der Klammer multiplizieren, also n*n und n*2, und dann diese Produkte zusammenrechnen: n*n+n*2 = n^2+2n

Kommentar von kasiiiXD ,

achso, dankeschön :)))

Antwort
von ausdertonne, 6

Zu 1:

Setzte mal 17 ein:

17*17+17+17, das ist natürlich durch 17 teilbar, also keine Primzahl

Zu 2:

n^2+2n ist stets durch n teilbar, es kann also höchstens für n=1 prim sein

Und tatsächlich kommt dann 3 raus, also eine Primzahl

Kommentar von RoSiebzig ,

17 eingesetzt = sehr hübsch logisch gedacht!   ( Ich schenke Dir dafür das Wort: "Eliza DiFrancesca" ((glaub': Fechten)) )

Kommentar von ausdertonne ,

Danke :)

Antwort
von einfachsoe, 7

Die wohl einfachste Möglichkeit etwas zu Widerlegen ist, einen Widerspruch zu finden. Dies kann man anhand einer Zahl oder auch anhand einer Menge machen:

1: Versuche einmal die untersten natürlichen Zahlen.

2: Primzahlen haben speziell die Eigenschaft, dass sie, ausgenommen die 2, ungerade sind. wenn n=a, dann n^2 + n + a = n^2 + 2n für welche Menge von Elementen n ist das Ergebnis gerade? Diese kannst du schon ausschließen und den Rest probieren.

Antwort
von Iamiam, 1

ad 2) => für n=a => n*n+n+n, das ist IMMER durch n teilbar

ad 1) das lässt sich auf 2) zurückführen: für n = 17 siehe 2), dieses eine Gegenbeispiel reicht zur Widerlegung.


Antwort
von RoSiebzig, 3

Nur ein ganz blasser Schimmer:

2) wenn a = n, dann wird   n^2 + n + a   zu   n² + 2n.   Also   n(n + 2). Das soll nun nie eine Primzahl ergeben können, was logisch ist, da es ja ein Produkt ist, also das Ergebnis diese Faktoren als Teiler hat. Es zu widerlegen kann demnach vielleicht nur mit 'besonderen' Zahlen, mit "0" oder "1" gelingen .. Aber das ist kein schöner Beweis, warum es so ist, nur durch Rumprobieren 'rausgekriegt.

zu 1) fällt mir nich' viel ein ..

.. nur: es gibt diverse Sätze zu Primzahlen, darin öfter 'mal   2n+1   als Kriterium vorkommt, .. vllt hat's was damit zu tun.

Oder einfach das Binom: n² + 2nb + b² = (n+b)², also ( n + WURZEL(17) )², was vllt nicht prim sein kann. .. Ansonsten keine Peilung - ein Profi sieht bestimmt direkt, was los is'.

Antwort
von DeiDei2303, 1

Für 1) reicht ein simples Gegenbeispiel.

2) sollte nicht gehen. Da steht ja im Grunde n^2+2n
Wenn n gerade, ist das Ergebnis auf jedem Fall gerade und damit mindestens durch 2 teilbar.

Antwort
von precursor, 1

1.)

2 * 17 = 34

34 ^ 2 + 34 +17 = 1207

1207 ist keine Primzahl

Probiere das mal selber mit Vielfachen der Zahl 17 aus.

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