Frage von Jueli61, 38

Ana I - Wie rechnet man das?

Hallo Leute. 

Könnt ihr mir weiterhelfen? Seien X, Y Mengen und f ∶ X → Y eine Abbildung sowie A ⊂ X, B ⊂ Y . Welche der folgenden Aussagen sind stets wahr? Man beweise diese und widerlege die anderen durch Angabe eines Gegenbeispiels. 

(a) f(f −1 (B)) = B, 

(b) f −1 (f(A)) = A.    

Dankeschön 

Lg. Jueli61

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 38

Da im allgemeinen X und Y elementfremd sein können:

(a) ergibt so keinen Sinn, da f nur für Elemente/Teilmengen von X definiert ist, und auch die Differenz einer Relation und einer ihrer Operandenmengen nicht erklärt ist.

(b) ergibt so auch keinen Sinn, links eine Teilmenge von Y und rechts eine Teilmenge von X steht.

Antwort
von kepfIe, 32

(a) stimmt, das kann man einfach mit den Definitionen zeigen. Ich kenn eure jetzt nicht, deswegen ist das schwierig.  

(b) stimmt nicht. Dazu musst du dir überlegen, was passiert, wenn ein Element aus A keinen Bildpunkt hat. 

Kommentar von Jueli61 ,

zu a) stimmt das immer, egal welche Definition?

Kommentar von kepfIe ,

Naja, die Definition von Bild und Urbild halt, aber die sollte vom Sinn her immer gleich sein.

Kommentar von Jueli61 ,

Wie würde man das denn allgemein beweisen?

Kommentar von kepfIe ,

Mit der Definition von f^-1 eben.  

f^(-1)(B)={A⊂X|f(A)=B} (das A hier ist nicht das gleiche wie das in der Aufgabe)  

f(f^(-1)(B))=f(A)=B

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