Frage von kruemel20, 81

An die Mathematiker... wie löse ich folgende Aufgabe der Trigonometrie?

Ich sitze jetzt seit über einer Stunde hier und lese mich durch die Trigonometrie und deren altbekannte Sätze, verstehe aber nicht wie ich die folgende Aufgabe hier lösen soll:

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse [AB]. Der Punkt P ist Mittelpunkt der Strecke [AC] und der Punkt Q ist Fußpunkt des Lotes von C auf die Strecke [AB]. Auf der Strecke [BC] liegt der Punkt R. Der Winkel RPC hat das Maß δ. Es gilt: AB= 12,5 cm; α = 30°; δ = 38° a) Zeichne das Dreieck ABC und PQR. b) Zeige durch Rechnung: Das Maß ε des Winkels APQ beträgt 120.0°.

Ich möchte nicht das ihr mir Lösungen ausspuckt, ich möchte nur wissen wie ich das berechnen muss.. ich weiß das ich für das Dreieck APQ dann den Kosinussatz brauche um den Winkel ε zu berechnen, aber wie soll ich den anwenden wenn ich die Länge der Strecke PQ nicht kenne? Und wie soll ich diese ausrechnen? Beziehungsweise inwiefern soll mir da das Dreieck PQR weiterhelfen? Ich verzweifle noch..

Ich weiß, es ist spät und man müsste erstmal eine Skizze anfertigen um da überhaupt durch zu blicken, aber meine Mutter kann mir das nicht erklären weil sie es nicht versteht und meine Klasse (geteilt in Mathe und Werkenzweig) hatte die Trigonometrie noch gar nicht, oder versteht es selbst nicht.

Falls da draußen also um diese Uhrzeit oder auch bis morgen früh jemand ist, der gut in Mathe ist und der die Zeit und mehr oder weniger auch die Lust hat um eine Skizze zu machen und mir zu sagen wie ich am besten auf das Ergebnis kommen kann, ich wäre unendlich dankbar.

Antwort
von ffrancky, 45

Hallo,

ich weiß nicht ob noch Mathematiker wach sind, doch ich glaube die brauchst du gar nicht - es scheint mir doch ein recht einfaches trigonometrisches Bsp zu sein. Hast du bereits eine Skizze des Problems angefertigt?

Kommentar von kruemel20 ,

Ja, habe ich. Kann aber kein Bild davon hoch stellen falls du darauf hinaus willst, habe kein Handy.. 

Kommentar von ffrancky ,

dann hast du also Punkt a) schon bearbeitet und brauchst noch Punkt b) ?

Kommentar von kruemel20 ,

Ja, Punkt a ist ja nicht weiter schwer, den Winkel δ und α kann ich ja leicht durch das Geodreieck konstruieren und den Rest muss ich ja nur verbinden. Mehr oder weniger. Das Dreieck bzw die Dreiecke liegen gezeichnet vor mir.

Kommentar von ffrancky ,

ok, ich werde mich mal daran setzen. 

Wir suchen also mittels Kosinus-Satz den Winkel cos(Epsilon) bzw. Epsilon. Ich habe mir das ganze auch einmal konstruiert (mehr oder weniger :))

Welche Strecken sind noch unbekannt?

Kommentar von kruemel20 ,

Meine Rettung, vielen vielen Dank. Also den Winkel Epsilon bzw Winkel APQ betreffend die Strecke AP und PQ. Und ich denke die Strecke PQ kann man mit Hilfe des Dreieckes PQR herraus finden, aber ich komme nicht darauf wie..

Kommentar von ffrancky ,

Ganz genau! Es ist etwas umständlich (so wie Schulbeispiele leider meistens sind), aber gemeinsam kommen wir auf eine Lösung.

Du brauchst also noch AP und PQ - richtig

Wenn du dir zunächst das äußere Rechteck ansiehst, erkennst du ein rechwinkliges Dreieck. Mit Hilfe von Pythagoras können wir also AC und BC berechnen (AB und alpha ist ja gegeben). Check

Weiters berechnen wir AP (genau die hälfte von AC - aus der Angabe. 

Jetzt vielleicht etwas auf das man nicht so leicht kommt: Der verbleibende Winkel Beta ist 180-90-alpha = 60 Grad (Winkelsumme eines Dreiecks ist immer 180 Grad). 

Daraus können wir wieder mittels Pythagoras die Strecke BQ errechnen. 

Nun haben wir damit auch AQ!

Jetzt gibt es noch verschiedene Varianten um den letzten Winkel zu berechnen. Ich versuche mal eine elegante zu finden 

Kommentar von kruemel20 ,

Wieso komm ich da nicht drauf? Nochmals vielen lieben Dank!!

Kommentar von ffrancky ,

Schaffst du es von da weg? Halte mich bitte auf dem Laufenden, ob ich dir noch weiter helfen kann

Kommentar von kruemel20 ,

Das wird dauern, bis ich das alles erstmal errechnet habe. Bin, wie vielleicht schon hervor gegangen, nicht gerade ein Überflieger im Umgang mit Zahlen

Kommentar von ffrancky ,

Hallo, 

Moment :D Ich glaube ich habe eine elegante Lösung gefunden für die du keinen Kosinussatz etc. benötigst.

Folgender Gedankengang: 

1.) Aus der Winkelsumme errechnen wir Beta = 60 Grad

2.) Mit dem Lot (=> rechtwinkliges Dreieck) teilen wir das große Rechteck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke

3:) Im rechten (QBC) erhalten wir mit der Winkelsumme einen Winkel QCB von 30 Grad (da ein rechter Winkel unten bei Q vorhanden)

4.) Das bedeutet weiter, dass im linken rechtwinkeligen Dreieck der Winkel ACQ 60 Grad betragen muss (ist ja ein rechter Winkel (großes Dreieck) minus den eben berechneten 30 Grad)

5.) Jetzt gehen wir davon aus dass epsilon gleich 120 Grad...Das bedeutet, dass QPC gleich 60 Grad ist (PCQ ist ein gleichseitiges Dreieck mit 3 Innenwinkeln von jeweils 60 Grad.

6.) Unter dieser Vorraussetzung ist PQ und AP gleich lang, womit  APQ ein Gleichschenkliges Dreieck ist ---> da alpha gleich AQP = 30 Grad kommen wir wieder auf ein Epsilon von 120 Grad.....

Ich weiß nicht ob das als Beweis stand hält, bin leider kein Mathematiker :) liebe Grüße

Kommentar von kruemel20 ,

Hab das da jetzt einfach notiert.. das andere da bin ich wieder ins Schwanken gekommen. Hoffe mein Mathelehrer akzeptiert das *seufz*. Aber das macht auch wirklich keinen Spaß wenn man an einer Aufgabe 3 Stunden sitzt und 4 auf bekommen hat. Das wird er wohl verstehen müssen.
Danke für deine Mühen!

Kommentar von ffrancky ,

Jeder Lehrer akzeptiert das, wenn er sieht dass du dich mit der Aufgabe auseinandergesetzt hast. 

Viel Erfolg und ich würde mich noch für einen Daumen nach oben freuen

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