Frage von Mrgamble7, 67

Alternierende reihe auf konvergenz untersuchen?

Hey habe die reihe von n=4 bis unendlich von ((-2)^n)/(3^n+1)

Ich weiß dass ich eine fallunterscheidung machen muss fur n gerade und ungerade aber wie geh ich die sache nochmal genau an hab ja insgesamt einen bruch also quotientenkriterium und wie kann ich die fallunterscheidung da mit reinbringen?

Antwort
von ProfFrink, 67

Du spaltest die Summe einfach auf und sorgst bei der Indizierung der Exponenten schon dafür, dass in der einen Summe nur positive Werte stehen und in der anderen Summe nur negative Werte.

Konkret:

Summe 1 läuft von n=2 bis unendlich und die Summanden bekommen folgendes Format:

2^2n/(3^2n+1) 

Damit ist dann von der ursprünglichen Summe n= 4, 6, 8, 10, .. berücksichtigt.

Dann müssen aber noch die Glieder n = 5, 7, 9, 11, ..  dazu kommen

Wieder wird ersatzweise mit n = 1,2,3,.. indiziert, aber mit folgenden Ersatzausdruck

[(-2)^(2n+1)] / [3^(2n+1)+1]

Da dieser Ausdruck stets negativ ist, kann er auch umformuliert werden:

-[2^(2n+1)] / [3^(2n+1)+1]

Damit stehen am Ende zwei getrennte Summen da, die beide mit n=2,3,4,.. indiziert werden.

Kommentar von Mrgamble7 ,

Ok und was mach ich dann mit den 2 summen quotientenkriterium?

Kommentar von ProfFrink ,

Habe noch einen Fehler entdeckt:

Wieder wird ersatzweise mit n = 1,2,3,.. indiziert, aber mit folgenden Ersatzausdruck

Richtig muss es heissen:

Wieder wird ersatzweise mit n = 2,3,4 indiziert, ...

Kommentar von Mrgamble7 ,

ProfFrink was mach ich dann mit den 2 summen wende ich auf beide zb das quotientenkriterium an? Weil meine aufgabe ist es ja die ursprüngliche reihe auf konvergenz zu untersuchen

Kommentar von ProfFrink ,

Ja, das ist ein gangbarer Weg, denn wenn beide Einzelsummen konvergent sind, dann ist es auch der Gesamtausdruck.

Alternativ kann man auch beide Summanden unter ein und demselben Summenzeichen unterbringen. Dann hat man es mit einer Differenz zu tun, auf die man auch das Quotientenkriterium anwenden könnte. Man hat es nur mit einem unschönen Doppelbruch zu tun, den man erst mühsam auflösen muss, in dem man gemeinsame Nenner formuliert. Diese unglücklichen "+1" Ausdrücke in den Nennern erschweren das Geschäft. Aber es geht. Ausprobiert habe ich es aber nicht!

Antwort
von isbowhten, 36

so richtig toll fand ich die bisherigen antworten noch nicht.

man darf die reihen ohne weitere betrachtung NICHT aufspalten. da die vorzeichen alternieren ist von vornherein nicht klar, ob der wert der reihe sich nicht ändert, wenn man die summationsreihenfolge ändert, was man aber tut, wenn man aufspaltet. schlimmer noch: das ist nicht mal eine "umordnung" im mathematischen sinn, sondern "noch bösartiger". angenommen es wäre eine umordnung (was es aber nicht wirklich ist), dann dürfte man dies nur dann tun, falls die reihe ABSOLUT KONVERGENT ist, was aber bereits KONVERGENZ impliziert. man kann aber konvergenz nicht mit konvergenz als annahme zeigen. das ist ja ein zirkelschluss. wären alle summanden nicht-negativ, so wäre absolute konvergenz äquivalent zur konvergenz, weshalb man DANN eine umordnung vornehmen dürfte.

warum dürfte man nun aber doch aufspalten? weil man den limes der partialsummen betrachtet, dann im limes eine endliche summe stehen hat, und dann beide partialsummen, die man nach dem aufteilen erhält, konvergente folgen von partialsummendarstellen, sodass man grenzwertsätze anwenden kann.

es steckt also schon noch etwas mehr dahinter, als das nur aufzuteilen.

desweiteren:

wenn die folge, über die man summiert eine nullfolge ist, folgt NICHT, dass die reihe konvergiert. das ist schlicht falsch. gegenbeispiel: harmonische reihe.

was aber richtig ist:

das quotientenkriterium ist anwendbar, auch ohne aufteilung. der grenzwert von |a(n+1)/a(n)| ist klar 2/3 < 1, also konvergiert die reihe (absolut).

ein anderes standard-kriterium speziell für alternierende reihen ist das leibniz-kriterium. die voraussetzungen dafür sind trivialerweise erfüllt.

außerdem funktioniert auch das majorantenkriterium, da der n-te summand auch kleiner-gleich (2/3)^n ist, also die geometrische reihe für 2/3 eine konvergente majorante ist. und natürlich geht auch (mit etwas nervigem gerechne, wegen dem "+1" im nenner) das wurzelkriterium. es geht so ziemlich alles. such dir was aus.

Kommentar von Mrgamble7 ,

Also war das aufspalten jetzt doch okay oder ? Es verwirrt etwas da du am anfang schreibst es ist nicht okay dann aber wieder doch. Hatte auch am anfang ohne aufteilung quotientenkriterium benutzt und es kam 1/27 raus hab ich mich da etwa verrechnet? :o

Kommentar von isbowhten ,

das aufteilen ist nur ok, wenn man es begründet. es ist keine triviale rechenoperation. das meinte ich. im allgemeinen ist das aufteilen nicht erlaubt. hier aber schon.

wie du auf 1/27 verstehe ich nicht. mein gefühl sagt mir: 2/3

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 41

Für n > 0 gilt für alle n, dass 3 ^ n > (-2) ^ n ist.

Daraus ergibt sich bereits von alleine eine Nullkonvergenz.

Kommentar von ProfFrink ,

Ja, das ist gut beobachtet. Und zudem verlangt das Quotientenkriterium ja auch Betragsstriche um den Quotienten, so dass da alternieren kann was will. Sehr schön!

Kommentar von DepravedGirl ,

Was ich noch vergessen hatte zu schreiben, ist, dass es nicht nur so ist, dass 3 ^ n > (-2) ^ n ist, sondern dass der Abstand zwischen ihnen immer größer wird, würde der Abstand nicht größer werden, dann wäre es keine Nullkonvergenz.

Kommentar von Mrgamble7 ,

Der dritte antworter sagt aber dass das nur weil es sich um eine nullfolfe handelt es nicht heißt das die reihe konvergiert

Kommentar von DepravedGirl ,

Ich habe noch mal nachgeschaut, und isbowhten hat recht.

Auf Wikipedia steht, dass Nullkonvergenz eine notwendige Bedingung für Konvergenz ist, aber keine ausreichende.

Ich habe jedoch in der Praxis festgestellt, davon habe ich mich wohl blenden lassen, dass Nullfolgen sehr oft konvergieren, auch wenn dies scheinbar nicht immer der Fall ist.

Die von dir genannte Folge konvergiert jedenfalls.

Ich habe weiter nachrecherchiert und dabei folgende Webseite gefunden -->

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Konvergenz_einer_Reih...

Kommentar von ProfFrink ,

Ehrlich gesagt, habe ich diese Zusammenhänge mit der notwendigen und hinreichenden Bedingung in der Schule in der Schule nie richtig verstanden. Nun will ich es aber endgültig verstehen. Leider habe ich diesbezüglich auf Deinem Wikipedia link nichts zu diesem Thema gefunden. Es sind nur eine Reihe von Konvergenzkriterien aufgelistet. Sind das denn alle nur notwendige Bedingungen? - Was ich so verstehe, dass damit noch keine echte Konvergenz garantiert ist. Und womit wäre dann die Konvergenz ausreichend bewiesen? Doch eigentlich nur mit dem echten Ausrechnen einer Reihe, oder? 

Kommentar von DepravedGirl ,

Leider verstehe ich das auch nicht.

Ich habe auch kein allgemein gültiges Rezept gefunden, was man immer anwenden kann, egal wie kompliziert die Reihe auch immer ist.

Deshalb verlasse ich mich lieber auf die numerische / angewandte Mathematik und rechne den Limes einfach numerisch aus, auch wenn das Theoretikern ein Dorn im Auge ist ;-))

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