Frage von TheKn0wledge, 41

Allgemeine Relativitätstheorie - warum differenzierte Komponenten in der Beschreibung von Kausalitäten?

Hallo Community,

Ich sitze gerade vor meiner Facharbeit, Thema "Warpantrieb", und muss jetzt die physikalischen Hintergründe erläutern, und dazu zählt ja eben auch die Beschreibung der Raumzeit als elastisches "Material" und nunmal auch die Vierdimensionalität und die Beschreibung von Kausalitäten. Was nun eine Kausalität ist ist mir vollkommen klar, auch die Struktur des Summenquadrats macht Sinn (schließlich werden Abstände im dreidimensionalen Raum auch nicht großartig anders beschrieben, klar kommen durch die Flussrichtung der Zeit noch ein paar Minus-Zeichen hinzu aber das sollte sich verkraften lassen), dass ein Ereignis nunmal vier Dimensionen hat ist auch vollkommen klar, nur warum die Komponenten eines Ereignisses nun differenziert sein müssen erschließt sich mir nicht wirklich, und auch in welcher Form man hier von differenzierten Komponenten spricht ist mir auch nicht wirklich klar. Kann mir vielleicht jemand aushelfen? Mathematiker und Physiker vielleicht unter euch? ^^

Antwort
von Reggid, 41

etwas wulstig formulierte frage, daher ist jetzt auch nicht ganz einfach zu verstehen wovon du eigentlich sprichst?

meinst du das linienelement?

ds²=-dt²+dx²+dy²+dz² (für eine flache raumzeit in kartesischen koordinaten). meinst du das?

Kommentar von TheKn0wledge ,

ds²=dct²-dx²-dy²-dz² eigtl... Warum sind die Komponenten da jetzt differenziert?

Kommentar von Reggid ,

die komponenten sind nicht differenziert. die ableitung von z.B. der koordinate x nach einem parameter (z.B. zeit t) wäre ja dx/dt


dt,dx,dy,dz sind differentiale.

das linien element gibt dir die "länge" einer kurve in der raumzeit an. dazu musst du über ds integrieren. diese form des integrals mit dem ds (oder dx oder was auch immer) kennst du doch? also wenn du die "länge" einer kurve kenne willst, dann integrierst du über Wurzel[dt²-dx²-dy²-dz²]. (wenn die kurve "zeitartig" ist (also eine kurve beschreibt die ein physikalisches teilchen mit masse m>0 tatsächlich beschreiben könnte) dann muss man das vorzeichen umdrehen). 

du kannst jetzt z.B. die differentiale der räumlichen koordinaten durch die zeit ausdrücken, denn du weißt die ableitung nach der zeit ist die geschwindigkeit, also dx/dt=v_x (und dy/dt=v_y usw.). also gilt dx=v_x * dt und wenn du das einsetzt dann hast du

Wurzel[dt²-dx²-dy²-dz²] = Wurzel[1 - v²] * dt

mit v²= (v_x)²+(v_y)²+(v_z)² und hier erkennst du den bekannten gamma-faktor 1/Wurzel[1-v²]

die sog. eigenzeit  tau ist also das inegral 1/gamma(v) * dt

wenn v nicht von der zeit abhängt dann kannst du es vor das integral ziehen und du erhähltst

tau = T / gamma

die gute alte formel für die zeitdilatation der SRT für gleichförmige bewegungen.


(und nicht wundern, ich habe hier überall c=1 gesetzt. wir physiker sind viel zu faul um alle konstanten immer mitzuschleppen. du kannst ja selbst alles nochmal mit den faktoren von c durchgehen)

Kommentar von TheKn0wledge ,

Ah danke. Ich hatte das ganze etwas verpeilt. Klar, sind integrierte Komponenten, keine differenzierten. Macht ja auch Sinn. Einmal falsch gedacht, schon ist man komplett raus.

Kommentar von Martinmuc ,

Das sind auch keine integrierten Komponenten, sondern infinitesimal kleine Abstände in den Dimensionen der Raumzeit.

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