carlos12345 hi, bin komme an dieser Aufgabe einfach nicht mehr weiter.
Aufgabe: (x^2 + 2y(x)) y´(x) + 2xy(x)=0
Mein Ansatz ist, dass ich die DGL nach Trennung der Variablen löse, was ich auch mehrmals durchgeführt habe und immer auf die falsche Lösung komme. In der Kurzlösung steht jedoch, dass U(x,y)=x^2*y + y^2 rauskommt. Ich weiß einfach nicht mehr weiter und brauche vielleicht einen Tipp, wie man anfangen sollte. Mache ich das überhaupt richtig mit der Trennung der variablen??
Danke im voraus
Trennung der Varieblen geht hier ja nicht wirklich: Wenn du die Variablen trennen willst, müsstest du ja durch y(x) teilen, um das x im letzten Summanden vom y zu befreien. Aber dann hättest du vorne nach dem Ausklammern dafür x²/y stehen. Also wird das so nichts. Aber die Lösung gibt dir doch schon den Weg vor: Das ist ja ganz offensichtlich eine schreibweise, die ein Potential vermuten lässt. Und man sieht ja auch, dass die DGL hier exakt ist, also in der Form:
p(x,y) + q(x,y)* y' =0
Eine separierbare DGL müsste dagegen die Form y' =a(x)*b(y) besitzen.
Die Lösung einer exakten DGL mit den Bezeichnungen von obern ergeben sich als U(x,y(x))=c, wobei c eine Konstante ist (aus der Anfangsbedingung) und U eine Potentialfunktion des Vektorfeldes g ( [...] soll ein Spaltenvektor sein) ist:
g(x,y)=[p(x,y);q(x,y)]
Also: p=dU/dx und q=dU/dy
Das erkennt man hier, indem man das Potential nach x ableitet und entsprechend mit innerer und äußerer Ableitung arbeitet. Dannergibt sich nämlich, dass die ableitung des Potentials nach x genau die Linke Seite der obigen DGL ist. Damit muss diese Ableitung des Potetnials Null sein. Integrieren dieser Bedingung führt auf die Behauptung.
Also kurz: Prüfe, ob diese DGL exakt ist (Sprich: ob sie ein Potential besitzt), indem du zuerst dp/dy und dq/dx bildest. (Hier sind die partiellen Ableitungen gemeint, also bei letzterem nicht die Kettenregel verwenden!). Wenn g(x,y(x)) ein Potential hat, müssen diese identisch sein. dies ist hier der Fall. Also finde das Potential (Das solltet ihr gemacht haben, einfach durch integrieren zuerst nach der einen, dann nach der anderen Variable), damit ergibt sich dann die Lösung.
Kleiner Hinweis noch zur Vollständigkeit (hat nix mit der Aufgabe zu tun): Wenn man eine DGL der obigen Form hat, aber g kein Potential besitzt ( die DGL also nicht exakt ist), dann kann man evtl. einen sogenannten integrierenden Faktor finden, also eine Funktion f(x,y), mit der man das Potential g multipliziert, sodass dieses Produkt nun ein Potential besitzt. Dann kann man zeign, dass das Potential dieses Produkts auch eine Lösung der DGL ist, sodass auch hier die Potentialtheorie hilft.
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