Frage von samudee, 70

alle reellen Zahlen eines Gleichungsystems?

I Wurzel aus x-2016 + Wurzel aus y - 56 = 11 II x+y =2193

Diese Gleichungen habe ich gegeben und ich soll alle reellen Zahlen x,y bestimmen. Leider hat man uns das nur mit Taschenrechner beigebracht. wir sollen es aber ohne machen. Kann mir jemand das ausführlich erklären? Danke schonmal :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Melvissimo, 44

Die zweite Gleichung ist so einfach gestrickt, dass man sie leicht nach einer der beiden Variablen umstellen kann. Etwa:

x = 2193 - y.

Wenn du jetzt in die erste Gleichung diesen Term für x einsetzt, erhältst du:

sqrt(2193 - y - 2016) + sqrt(y - 56) = 11, also

sqrt(177 - y) + sqrt(y - 56) = 11.

Diese Gleichung kannst du nun nach y auflösen und dann mittels der zweiten Gleichung x ermitteln.

Mit "sqrt" meine ich übrigens square root, also die Quadratwurzel.

Kommentar von samudee ,

Auch wenn es dumm scheint ... wie löse ich das nach y auf? meinst du umstellen? wie geht das mit der wurzel?

Kommentar von Melvissimo ,

ja, du stellst die Gleichung nach y um. Da dort Wurzeln auftauchen, würde ich die Gleichung erstmal quadrieren und schauen, was passiert (beachte aber, dass sich beim Quadrieren einer Gleichung die Lösungsmenge vergrößern kann. Du solltest deine Lösungen später durch Einsetzen verifizieren).

Kommentar von samudee ,

gut also umstellen und was heißt verifizieren. wie geht das? nur weil ich die wurzel ziehe kann odch nicht der bereich größer werden. und wenn ich das dann nach y umgestellt habe und x raus habe... ist das dann ein wert oder mehrere ? ich soll ja die ganzen reellen zahlen ensetzen sind das nur 2 zahlen?

Kommentar von Melvissimo ,

Die Lösungsmenge kann größer werden, wenn du eine Gleichung quadrierst. Beispiel: Betrachte die Gleichung

x = 1.

Diese Gleichung hat nur eine Lösung für x, nämlich 1. Wenn du diese Gleichung quadrierst, erhältst du:

x² = 1.

Diese neue Gleichung hat plötzlich 2 Lösungen für x, nämlich 1 und -1. 

Aber wenn du in deine erste Gleichung -1 für x einsetzt, bemerkst du, dass -1 keine Lösung der ursprünglichen Gleichung ist. Diese Lösung hat sich dazugemogelt, als wir die Gleichung quadriert haben.

Du sollst prüfen, ob das in deinem Fall auch passiert ist. Setze jede deiner Lösungen für y in die ursprüngliche Gleichung ein und guck, ob es passt. Das meinte ich mit verifizieren.

Wenn du damit fertig bist, kannst du für jede Lösung y das zugehörige x ausrechnen. Dann erhältst du mehrere Paare der Form (x,y) von Zahlen, die das Gleichungssystem lösen.

Kommentar von samudee ,

Ich kann doch für  nur eine zahl rauskriegen oder zwei dasss heißt es gibt maximal 2 paare (x,y)???

Kommentar von samudee ,

ich habe für x 2016 und für y 177 sind das alle lösungen?

Kommentar von Melvissimo ,

Das Paar (2016; 177) ist eine Lösung, aber für y = 56 findest du noch eine zweite Lösung.

Kommentar von samudee ,

wenn ich aber 56 als probe bei gleichung eins einsetze, dann steht etwas negatives unter der formel und das gerht nicht, also ist die lösung nicht echt

Kommentar von Melvissimo ,

Nein. Du setzt die 56 ja nur für y ein, also steht unter der zweiten Wurzel 56 - 56, was nicht negativ ist. 

Antwort
von ralphdieter, 32

Ein Standard-Verfahren gibt's dafür vermutlich nicht.

Ich würde zuerst u=x-2016 und v=y-56 substituieren. Dann haben wir:

  1.   √u + √v = 11
  2.   u  +  v = 121

Die erste Gleichung quadriert liefert: u+v + 2√(uv) = 121 (Achtung: das kann zusätzliche Lösungen erzeugen; also Probe nicht vergessen!)

Zweite Gleichung eingesetzt liefert: √(uv)=0, was die Lösungsmenge auf u=0 ∨ v=0, also x=2016 ∨ y=56 eingrenzt.

Unter Beachtung von (II) findest Du für x=2016 nur y=177 und für y=56 nur x=2137. Beide Lösungskandidaten erfüllen auch (I) und sind damit echte Lösungen.

Kommentar von samudee ,

wenn ich y=56 einsetze in II dann steht unter der wurzel etwas negatives das geht ja nicht. ist sie dann immernoch eine echte lösung?

Kommentar von ralphdieter ,

Nee, das ergibt v=0 (siehe Kommentar von Melvissimo)

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 35

das ist ne ziemlich lange Rechnung;

du musst zuerst die Wurzeln trennen dann quadrieren;

binomische Formel anwenden, ordnen und noch einmal quadrieren.

dann x=......... aus der 1. Gleichung einsetzen usw.

Kommentar von samudee ,

wie trenne ich die wurzel? wozu brauche ich dann die binomische formeln?

Kommentar von Ellejolka ,

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