Frage von kaiuwe97, 88

Alle natürlichen Zahlen die nicht durch 5 teilbar sind?

Hallo,

wie könnte man alle natürlichen Zahlen die nicht durch fünf teilbar sind durch eine Formel beschreiben?

Alle natürlichen Zahlen die durch 5 teilbar sind wären ja 5n, n € N, n ≠ 0 oder? aber was wären dann die Zahlen die nicht durch 5 teilbar sind weil 5n+1 wären ja nicht alle?

Könnte man schreiben: 5n+k, n € N, n ≠ 0, k € N, k < 5 ???

Danke für jede Hilfe!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von undNichtAnders, 40

Wenn du eine Formel suchst, dann ist
5n+k, n € N0, k € N, k < 5 richtig.
n muss bei 0 anfangen, sonst fehlen 1,2,3,4 .

Ansonsten wäre der Verwendungszweck hilfreich.

Kommentar von kaiuwe97 ,

Verwendungszweck:

Zeigen Sie durch indirekte Schlussweise: Ist das Quadrat einer natürlichen Zahl durch

5 teilbar, so ist die Zahl selbst durch 5 teilbar.

Kommentar von undNichtAnders ,

Ach so, es soll

"zahl nicht teilbar" => "quadrat nicht teilbar"

gezeigt werden?

Naja (5n+k)(5n+k) = ... usw.  Hmm, müsste gehen.


ja, und k^2 ist dann nicht durch 5 teilbar.

Kommentar von kaiuwe97 ,

Hm, ich dachte beim indirekten Beweis läuft es auf einen Wiederspruch hinaus. Also ich behaupte etwas falsches und beweise das es falsch ist?

Ich verstehe den Ansatz leider nicht so richtig. Kannst du den rechten Teil bitte noch ergänzen?

Kommentar von undNichtAnders ,

Das Quadrat einer nicht durch 5 teilbaren Zahl ist nach deiner Formel

(5n+k)(5n+k) = 25n^2+10kn+k^2

die ersten 2 Summanden sind durch 5 teilbar, aber der letzte nicht, weil k=1,2,3,4 ist und daher k^2=1,4,9,16

Die ganze Chose ist also nicht durch 5 teilbar.


Kommentar von kaiuwe97 ,

Vielen Dank, jetzt ist alles klar!,

Kurze  Verständnisfrage noch... Weil der indirekte Beweis in meiner Vorlesung etwas anders erklärt wurde. Ist folgendes Richtig: Für den indirekten Beweis nimmt man das logische Gegenteil einer Aussage an und findet ein Widerspruchen. Also in diesem Beispiel: Es wird behauptet: Wenn p^2 durch 5 teilbar ist, dann ist auch p durch 5 teilbar. Zum Beweis behauptet man nun das logische Gegenteil, also: Wenn p^2 durch 5 teilbar ist, dann ist p nicht durch 5 teilbar!

Man nimmt also an p = 5n + k .

D.h (5n+k)^2 müsste durch 5 teilbar sein. Ist es aber wie von dir gezeigt nicht. => Widerspruch

Stimmt das? Nur um die logik des indirketen Beweises zu verstehen.

Kommentar von undNichtAnders ,

Genau genommen habe ich den Beweis etwas ungenau durchgeführt.
Korrekt ist tatsächlich das Gegenteil zu behaupten.
Ich behaupte:
Wenn Quadrat teilbar, dann Zahl nicht teilbar.

Das bedeutet ich kann das Quadrat so schreiben:
z*z=5*v und meine Zahl z=(5n+k), also

25n^2+10kn+k^2 = 5*v
k^2 = 5*v - 25n^2 -10kn
Die ganze rechte Seite ist durch 5 teilbar,
das bedeutet, k^2 ist durch 5 teilbar.
Aber das geht nicht, weil ja k^2 = 1,4,9,16
Widerspruch gefunden. Behauptung war falsch.

Kommentar von undNichtAnders ,

Danke für den Stern.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 38

0 ≡ n mod 5 ← Alle durch 5 teilbaren Zahlen
0 ≢ n mod 5 ← Alle Zahlen, die nicht durch 5 teilbar sind

Das erste lässt sich schreiben als k * 5 + 0 = n, das zweite als k * 5 + 0 ≠ n.

Antwort
von offeltoffel, 43

Da bei deinen Tags "Informatik" steht, gebe ich einfach mal folgende Antwort:

Alle X € N, für die gilt: X % 5 > 0

Abhängig von der Programmiersprache ändert sich natürlich die Syntax. Zentrales Element ist eben der "Modulo-Operator" %

Antwort
von nurlinkehaende, 38

aufrunden(n/5) ist ungleich abrunden(n/5) und n ist Element der natürlichen Zahlen.

Antwort
von Melvissimo, 36

n ≠ 0 würde ich in beiden Fällen nicht fordern. Erstens ist 0 durch 5 teilbar und (noch schlimmer) zweitens würdest du mit 5n + k sonst die Zahlen 1 bis 4 nicht erreichen.

5n + k mit 0 < k < 5 könnte man schreiben. Falls du mit Restklassen vertraut bist, kannst du auch die Ungleichung n ≠ 0 mod 5 benutzen.

Kommentar von kaiuwe97 ,

Hi danke für die Antwort, Ich fürchte wenn ich die Formel mit mod benutze kann ich den zweiten Teil der Aufgabe nicht lösen:

Zeigen Sie durch indirekte Schlussweise: Ist das Quadrat einer natürlichen Zahl durch

5 teilbar, so ist die Zahl selbst durch 5 teilbar.

oder?

Kommentar von Melvissimo ,

Gut, du kannst natürlich einfach (5n + 1)², (5n + 2)² etc ausrechnen. Aber das ist hier prinzipiell dasselbe, als würdest du 

1² mod 5, 2² mod 5 etc ausrechnen.

Kommentar von kaiuwe97 ,

Und für den indirekten Beweis müsste ich jetzt die Aussage, wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl durch fünf teilbar ist, ist es die Zahl selbst nicht widerlegen, oder?

Kommentar von Melvissimo ,

Du willst eine Aussage der Form "A => B" beweisen. Der indirekte Beweis zeigt nun die äquivalente Aussage "nicht B => nicht A".

Du willst also zeigen: Wenn n nicht durch 5 teilbar ist, dann ist auch n² nicht durch 5 teilbar.

Antwort
von annonymus702, 4

Das kannst du mit dem Modulo Zeichen machen. Das berechnet den Rest. Z.B.
Int rest = deineZahl%5
If (rest>0) {
Deine Funktion
}
Else {
Wenn die Zahl nicht durch 5 teilbar ist...
}

Antwort
von LaurentSonny, 20

Ich würde das so schreiben:

n=ℕ; n≠n₅

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