Es muss keine 4-6 Wochen dauern. Insbesondere, wenn Du alle nötigen Angaben gemacht und Belege beigefügt hast, kann es auch viel schneller gehen.
Die von Dir genannten angeblichen schwierigen Umstände sind m.E. überhaupt keine.
Du kannst einen Vorschuss auf die Leistung verlangen, wenn Dein Anspruch dem Grunde nach feststeht und nur die Höhe fraglich ist. Das fehlende Bankkonto hat mit dem grds. Anspruch überhaupt nichts zu tun, das ist nicht zwingend vorgeschrieben.
Und selbst wenn diese Sache mit der Mutter etwa Schwieriges darstellte (was ich nicht so sehe), würde es wohl nur die Kosten der Unterkunft betreffen.
Wenn es sonst keine Probleme gibt (das ist aber wichtig!), steht Dir m.E. der Vorschuss zu. Du kannst daher zusammen mit einem Beistand (!) zum Jobcenter gehen und die Auszahlung eines Vorschusses mind. in Höhe des Regelbedarfs verlangen.
Wird der Antrag trotz höflichem aber beharrlichen Insistierens abgelehnt, sollte Dich Dein nächster Weg zum Amtsgericht führen, wo Du einen Beratungshilfeschein beantragen kannst. Mit diesem Schein kannst Du wiederum zu einem Fachanwalt gehen, der für Dich bei einem Sozialgericht einen Eilantrag stellen kann.
Zu dem Amtsgericht musst Du alle Papiere mitnehmen, die wichtig sind: Schreiben von der Arge, Nachweise Deines nicht vorhandenen Einkommens und Vermögens (Kontoauszüge, Kündigungsschreiben usw.) und natürlich Deinen Beistand, der bestätigt, dass Dein Antrag beim JC abgewiesen worden ist.
Solche Anträge werden meist (in Deiner Sache) in zwischen zwei Tagen und zwei Wochen bearbeitet, schätze ich.
PS: Eröffne ein eigenes Konto !