Frage von Shakira50, 36

Achtung Mathe?

weiß jemand wie man eine Nebenbedingung aufstellt bei extremwertaufgaben? Ich schreib morgen eine Mathe Arbeit und das ist das einzigste was ich nicht verstehe.
ich freue mich auf antworten:) Danke!!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 10

Hallo,

bei diesen Aufgaben gibt es einmal etwas, das maximal werden soll oder minimal, z.B. der Blechverbrauch einer zylinderförmigen Dose.

Dann ist noch eine konkrete Zahl vorgegeben, z.B. der Inhalt, den die Dose haben soll, etwa 330 ccm. Aus dieser Angabe würdest Du die Nebenbedingung 
konstruieren. Du brauchtest dazu die Formel für das Volumen eines Zylinders:

V=330 ccm=πr²*h.

Diese Formel löst Du nach r oder h auf. h=330/πr² und baust diesen Ausdruck in die Formel für die Oberfläche O=2πr*h+2πr² ein.

So kommst Du auf die Zielfunktion f(r)=2πr*330/πr²2πr²,
die Du zunächst kürzen kannst:

f(r)=660/r+2πr²

Davon bildest Du dann die Ableitung f'(r)=-660/r²+4πr und setzt sie gleich Null.

Nach Multiplikation mit r² und Umsortierung erhältst Du 4πr³=660

r³=52,52 ccm

r=3,745

Wenn Du dies in die Formel für h einsetzt, siehst Du, daß h gleich 2r ist, die optimale Dose hätte also einen quadratischen Querschnitt.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 18

Meistens ist es eine Bedingung, die durch den Text gegeben ist.

Beispiel: Eine Rechteckfläche soll maximiert  werden. Der Umfang beträgt 100m.

Nebenbedingung: a*b=100

Da kannst du nach einer Unbekannten umstellen, sie in die Hauptbedingung einsetzen, die Zielfunktion bilden, ableiten, das Extremum suchen, es beweisen und seine x-Koordinate in die Zielfunktion einsetzen.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 6

Die Nebenbedingungen entwickeln sich meist aus geometrischen Zusammenhängen, die so verdichtet werden, dass man für ein Volumen oder eine Fläche eine Gleichung herstellen kann, die nur von einer Variablen abhängt. Das wird gewöhnlich über eine Konstante organisiert.

Du kannst die Fläche eines Rechtecks, von dem du den Umfang 30 cm weißt, leicht als Funktion darstellen: A = a * (30 - a)

Oder das Volumen einer quadratischen Säule bei gegebener Kantenlänge 128 cm:                                             V = a² * (32 - 2a)

Eine solche Funktion kann man  dann ableiten (A' (a) oder V' (a)) und  Extremwerte bestimmen wie üblich. Manchmal geraten solche Aufgaben etwas knifflig. Aber meistens verlaufen sie nach demselben Schema.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 3

Diese Webseite beschreibt das sehr gut -->

https://de.serlo.org/mathe/funktionen/anwendungszusammenhaenge-und-anderes/extre...

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 4

die ist bei jeder Aufgabe anders;

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