Frage von blablabla455, 59

Abstand vom Punkt zur geraden?

Hallo, hänge gerade an einer Aufgabe fest und bekomme ein anderes Ergebnis als in den Lösungen. Der Abstand des Punktes P(1/-2) von der Geraden g(x) =4x-2 soll berechnet werden. Mein Ergebnis ist d=1,608

Expertenantwort
von stekum, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 15

Geradengleichung y = 4x - 2 oder 4x - y - 2 = 0 und in Hessescher Normalform

(4x - y - 2) / √17 = 0 . Einsetzen von P(1 | - 2) gibt d = 4 / √17.

Antwort
von gilgamesch4711, 18

  Schon wieder ist dieser gefic kte Editor abgestürzt.

Pass auf; ich habe hier auch immer gegrübelt. Aber gerade hier auf dem Forum hatte ich wie immer mal eine genitale idea.

    G ( x ; y ) := 4 x - y = const = c1 = 2       ( 1a )

     Mein Trick: Stell dir mal einen ( zunächst beliebigen ) Punkt P1 ( x1 | y1 ) auf G vor. Jetzt hast du aber noch gegeben

      P ( x0 | y0 ) = ( 1 | - 2 )        ( 1b )

    Genau so, wie wir uns oben diesen Punkt P1 geschnitzt haben, betrachten wir jetzt umgekehrt die Parallele zu G durch P

       G ( x0 ; y0 ) = 4 * 1 - ( - 2 ) = const = c2 = 6       ( 1c )

     Zum Einsatz kommt die ===> Taylorentwicklung ( z.B. Courant Band 2 )

     G ( x1 ; y1 ) = G ( x0 ; y0 ) + < grad ( G ) | ds >     ( 2a )

     oder, wenn wir ( 1ac ) berücksichtigen

         2 = 6 + < grad ( G ) | ds >       ( 2b )

    < grad ( G ) | ds > = ( - 4 )       ( 2c )

     Und jetzt verfügen wir über P1 . ds sei das Lot von P auf G in ( 1a ) und P1 entsprechend der Lotfußpunkt. Jetzt lässt sich die Funktion G ( x ; y ) aber auffassen als Muster paralleler Höhenlinien. Höhenlinien sind notwendig parallel, jedoch nicht immer geradlinig so wie hier. Wie ihr alle aus Erdkäs wisst, gibt der Gradient immer die Richtung des steilsten Anstiegs und steht eben Falls senkrecht auf den Höhenlinien. Das heißt aber, in ( 2c ) sind Gradient und ds parallel, genau genommen antiparallel, weil ja das Skalarprodukt negativ ist. Beide sind um 180 ° verdreht; der Gradient weist bergauf, während ds bergab zeigt. Uns ist es aber nur um den positiven Betrag zu tun.

     | < grad ( G ) | ds > | = | grad ( G ) | | ds | = 4      ( 3a )

     Demnach überlebt von dem Gradienten nix weiter als sein Betrag. Aus ( 1a )

    grad ( G ) = | ( dG/dx ) ; ( dG/dy ) > = ( 4 | - 1 )       ( 3b )

     | grad ( G ) | = sqr ( 4 ² + 1 ² ) = sqr ( 17 )       ( 3c )

     | grad ( G ) | | ds | = | ds | sqr ( 17 ) = 4         ( 3d )

      | ds | = 4/17 sqr ( 17 )        ( 3e )

    ( 3e ) ist die antwort.

Antwort
von FataMorgana2010, 43

Ich bekomme auch etwas anderes heraus. 

Wie hast du denn gerechnet?

Kommentar von blablabla455 ,

ich habe erst m ausgerechnet: md= -1/4=-0,25        dann habe ich es in die Funktionsgleichung eingesetzt -2=-0,25*1+b da habe ich dann -1,75 für b bekommen. dann habe ich die beiden funktionsgleichungen gleichgesetzt -0,25x-1,75=4x-2  damit habe ich (0,59/-1,76) ausgerechnet und dies in die Formel eingesetzt d=√(-1,76-(-2))^2+(0,59-1)^2 und hier bekam ich für d= 1,608 raus 

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Es hakt beim Gleichsetzen: 

Wenn du 

- 0,25 x - 1,75 = 4x - 2 hast, dann bekommst du durchs Umformen 

- 0,25 x - 1,75 = 4x - 2  | - 4x

- 4,25 x - 1,75 = - 2 | + 1,75

- 4,25 x = -0,25

x = 1/17

Jetzt kannst du weiterrechnen!

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

ich komme auf 16,28 gerundet

Kommentar von blablabla455 ,

Auf dem Zettel steht, die Lösung wäre d=0,97 LE

Kommentar von Ellejolka ,

hab mich vertan; 0,97 ist richtig;

senkrechte durch P ist y=-1/4 x - 1 3/4

gleichsetzen ergibt Fußpunkt F(1/17 ; - 1 13/17)

Pythagoras mit P und F

wurzel ( (1/17 - 1)² + (-1 13/17 +2)² ) = 0,97

Antwort
von Greiza, 59

Müsste es nicht heißen "der kürzeste Abstand"?

Antwort
von CaroQuestion, 57

 wie lautet denn wortwörtlich die aufgabenstellung?


Kommentar von blablabla455 ,

Der Abstand des Punktes P(1/-2) von der Geraden g(x) =4x-2 ist zu errechnen.

Kommentar von Greiza ,

Was ist denn dein Lösungsansatz?

Kommentar von blablabla455 ,

ich habe erst m ausgerechnet: md= -1/4=-0,25        dann habe ich es in die Funktionsgleichung eingesetzt -2=-0,25*1+b da habe ich dann -1,75 für b bekommen. dann habe ich die beiden funktionsgleichungen gleichgesetzt -0,25x-1,75=4x-2  damit habe ich (0,59/-1,76) ausgerechnet und dies in die Formel eingesetzt d=√(-1,76-(-2))^2+(0,59-1)^2 und hier bekam ich für d= 1,608 raus 

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