abstand des punktes?

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2 Antworten

Hallo,

Du kannst auch die Formel d=|ax(Q-P)|/|a| benutzen.

a ist der Richtungsvektor der Geraden. Ihn bekommst Du, wenn Du die beiden Punkte auf der Geraden, die gegeben sind, voneinander abziehst:

a=(4|-3)-(2|1)=(2/-4)

Du kannst hier auch durch 2 kürzen, weil bei dem Richtungsvektor nur die Richtung, aber nicht die Länge eine Rolle spielt: a=(1/-2).

Eigentlich müssen die beiden Zahlen in der Klammer übereinander geschrieben werden - das geht hier aber schlecht. Ich mache es immer so:

Meine ich einen Punkt, schreibe ich ihn mit senkrechten Trennstrichen (2|1), meine ich einen Vektor, nehme ich schräge Trennstriche (2/1)

Q ist der Punkt, dessen Abstand berechnet werden soll, also (6|3), P ist der Aufpunkt der Geraden (2|1)

Q-P=(6-2/3-1)=(4/2) (Hier bitte nicht kürzen, weil es hier auch auf die Länge ankommt.)

x bedeutet Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren.

ax(Q-P)=(1/-2)x(4/2)=2*1-(-2)*4=10

|a| ist der Betrag des Richtungsvektors der Geraden, also die Wurzel aus 
1²+(-2)²=Wurzel (5)

Der Abstand zwischen Q und der Geraden beträgt also
10/Wurzel (5)=2*Wurzel (5) Einheiten.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
26.10.2016, 17:07

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Da gibt es mehrere Möglichkeiten.

- Umwandeln der Geradengleichung aus der Zwei-Punkte-Form in die Hessesche Normalform, daraus kann man den Abstand von Punkt und Gerade leicht berechnen: https://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform#Abstand

- Nimm einen Vektor r, der auf der Geraden senkrecht steht, stelle die Gleichung der Geraden h durch den Punkt P (6,3) in Richtung von r auf und berechne den Schnittpunkt der Geraden

Stelle die allgemeine Gleichung für einen Punkt Q auf der Geraden g auf in Abhängigkeit von einem Parameter t (der von -∞ bis +∞ läuft), berechne den Abstand von P (6,3) und Q (Pythagoras lässt grüßen) und bestimme das Minimum dieses Abstands mit Mitteln der Funktionentheorie (Nullstelle der Ableitung) - Hinweis: Das Abstandsquadrat lässt sich leichter handhaben

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