Frage von momo621, 43

Ableitungsfunktion (Mathe-Vortrag)?

Ich muss in Mathe die Aufgabe 7a,b vorstellen und erklären, jedoch vertseh ich die Aufgabe nicht und kann sie auch nicht lösen

Bitte um Hilfe :)

Antwort
von TechnikSpezi, 11

Du sollst durch grafisches ableiten die Ableitungsfunktion bzw. den Ableitungsgraphen einzeichnen.

Das heißt du sollst hier schon einmal nichts rechnen oder mit dem Taschenrechner machen.

Der Ansatz bzw. Weg, wie du die Aufgabe löst ist ziemlich simpel:

Du musst die noch einmal die Gemeinsamkeiten von der Ausgangsfunktion f(x) und der Ableitungsfunktion f'(x) anschauen und damit dann den Ableitungsgraphen zeichnen.

Also fängst du ganz einfach erst einmal damit an den Ausgangsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem zu zeichnen. Anschließend markierst du zuerst einmal die Extrempunkte.

Erinnere dich an folgende Aussage:

Die Hoch- und Tiefpunkte der Ausgangsfunktion sind die Nullstellen der Ableitungsfunktion.

Damit kannst du also schon einmal beginnen. An jeder (x-) Stelle, wo die Steigung m = 0 ist, sich der Graph also im Fall von Nr. 7 a) wendet, ist auch eine Nullstelle beim Ableitungsgraphen.

Die erste Nullstelle der Ableitungsfunktion ist also bei x = 1, weil dort ein Tiefpunkt im Ausgangsgraphen ist. Die erste Nullstelle ist also N(1 | 0).

So machst du das ganze weiter.

Dann geht es weiter mit den Zusammenhängen zwischen Ausgangs- und Ableitungsfunktion.

Beispielsweise ist ein weiterer Punkt, dass der Ableitungsgraph aus der entgegengesetzten Richtung kommt (also auf der "linken" Seite) und sich anschließend gleich verhält.

Das weißt im ersten Beispiel, also a) kommt der Ableitungsgraph von unten und bleibt anschließend, also nach der y-Achse oben.

So machst du das ganze immer weiter.

Das reicht meistens eigentlich schon, du sollst hier ja auch nicht rechnen oder sowas.

Bei b) gehst du genauso vor, nur dass du nicht vergessen darfst, dass bei der Ableitungsfunktion ein Sattelpunkt vorliegt.


Kommentar von momo621 ,

ich versteh 70 prozent mehr ist da nicht drin :(

Kommentar von TechnikSpezi ,

Okay :/

Dann stelle Fragen, ich beantworte sie dir gerne.

Ich weiß ja auch nicht wie weit ihr seid, auf welcher Schule und in welcher Stufe bist du denn?

Und wie gesagt. Was du nicht ganz verstehst kannst du gerne nochmal genauer erfragen! :)

Kommentar von momo621 ,

ich bin in der 10 klasse und wir haben das noch garnicht behandelt...ich soll sozusagen dieses thema eröffnen

Kommentar von TechnikSpezi ,

Achso, na gut.

Das hätte ich an dem Punkt natürlich auch noch nicht verstanden.

Also wichtig ist auf jeden Fall der Punkt "Zusammenhänge zwischen der Ableitungsfunktion und der Ausgangsfunktion".

Das kannst du das ganze am besten einmal auf Google suchen, dort findest du bestimmt auch gute Beschreibungen.

Wie schon gesagt musst du hier gar nichts ausrechnen und ihr habt ja auch noch nichts großartig gemacht.

Ich erkläre das ganze nochmal von Anfang an, am besten am Beispiel von a).

Die Funktion hat mehrere Extrempunkte. Extempunkt ist ein Oberbegriff, der vor allem die Begriffe Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt beinhaltet.

Hoch- und Tiefpunkt sagen es schon fast selbst. Hast du eine Parabel, also eine Funktion 2. Grades (z.B. f(x) = x²). Die Parabel ist nach oben geöffnet. Die Nullstelle bzw. der sogenannte Wendepunkt in diesem Fall, also dort, wo die Parable statt zu "sinken" dann "steigt", ist wie gesagt der Wendepunkt. Auch das ist aber nur ein Oberbegriff für den Hoch- und Tiefpunkt.

In diesem Fall wäre das ganze ein Tiefpunkt, da dieser Punkt eben der tiefste Punkt der funktion f(x) = x² ist. Der Tiefpunkt wäre hier bei T(0|0).

Jetzt aber wirklicha auf das Beispiel a):

Der erste Extrempunkt ist an dem Punkt P(1|1).

Wie du siehst ist der Graph dort quasi weit unten und somit ist hier ein Tiefpunkt.

Weiter geht es und bei dem Punkt P1(2|2) wäre dann ein Hochpunkt.

Es gibt noch unterschiedliche Arten von Hoch- und Tiefpunkten, z.B. einen lokalen, globalen oder absoluten. Das ist jetzt aber noch egal und das musst du noch nicht genauer wissen, das werdet ihr später kennen lernen.

Wichtig ist, dass du folgendes verstehst und für immer für dieses Thema im Kopf behältst:

Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung in einem bestimmten Punkt.

Sagt dir jetzt bestimmt noch gar nichts, ich erkläre es ein bisschen.

Bei linearen Funktionen gab es ja immer die Steigung, die mit dem Buchstaben klein m beschrieben wurde.

Da die Funktion bzw. der Graph linear war, war die Steigung auch immer gleich. Bei ganzrationalen Funktionen, also Funktionen ab dem 2. Grad, sieht das anders aus. Du siehst ja, dass der Graph immer mal eine andere Steigung hat. Die Steigung ist also immer unterschiedlich.

Um genau diese Steigung an einem bestimmten Punkt zu bestimmen, nutzt man die Ableitung.

Wie gesagt ist die Ableitung die Steigung der Ausgangsfunktion in einem bestimmten Punkt.

Ganz ganz einfaches Beispiel:

Ausgangsfunktion: f(x) = x²

Nun leiten wir die Funktion ab, wie genau das geht musst du auch nicht wissen.

Kurz gesagt: Du ziehst den Exponenten (hier die 2) vor die Basis (hier das x) und erniedrigst den Exponenten (hier die 2) um genau 1, rechnest dort also hier 2-1.

Die Ableitungsfunktion, die man nun nicht mehr f(x) sonder f'(x) [man sagt dann f Strich von x], ist dann folgende:

f'(x) = 2x

Das x hat übrigens auch einen Exponenten, denn 2-1 sind ja nicht 0, sondern 1. Die 1 schreibt man aber nicht, denn jedes x ist eigentlich ein x^1.

Ähnlich wie wenn du 1*x hast. Dann schreibst du auch einfach x, die 1 lässt man weg.

Zurück zu dem Beispiel.

Wenn wir jetzt z.B. wissen wollen, welche Steigung die Funktion f(x) im Punkt P(0|0) hat, dann setzten wir das ganze ein.

Bei f'(x) setzten wir natürlich dann nur das x ein, hier ist ja auch kein y.

Wir rechnen also nun die Steigung aus, die der Graph der Ausgangsfunktion f(x) = x² an der Stelle x = 0 hat.

Schon einmal die Lösung vorweg: Die Steigung an dem Punkt ist 0, denn dort wendet die Funktion bzw. der Graph sich ja, dort ist ja auch der Wendepunkt bzw. Tiefpunkt.

Die Steigung ist also genau dort 0.

Das belegen wir nun mit der Rechnung, indem wir einsetzten, unzwar natürlich in die Ableitungsfunktion f'(x).

Setzten wir nun ein:

f'(0) = 2*0

f'(0) = 0

Da ist der mathematische Beweis, dass meine Aussage stimmte.

Damit haben wir gerade rechnerisch bestimmt, welche Steigung der Graph f(x) = x² an dem Punkt P(0|0) hat.

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Das war jetzt, um dir mal zu zeigen, was eine Ableitung eigentlich ist.

Beim einzeichnen an sich ist jetzt halt wie gesagt wichtig, dass du die Zusammenhänge kennst. Wie schon gesagt ist erst einmal das wichtigste, dass du weißt, dass dort, wo die Ausgangsfunktion ihne Extrempunkte hat, die Ableitungsfunktion ihre Nullstellen hat.

Also überall, wo die Steigung von f(x) gleich 0 ist, muss auch eine Nullstelle im Ableitungsgraphen sein.

Gehe am besten mal auf folgende Seite und lasse dir mal f(x) = x² zeichnen:

http://funktion.onlinemathe.de/

Du musst das ganze dann so eingeben: x^2

Klicke bevor du dir die Funktion zeichnen lässt auf "komplette Kurvendiskussion...".

Lasse dann alles berechnen und schrolle runter. Unten siehst du dann ein Koordinatensystem. Klicke etwas darüber auf "1. Ableitung einzeichnen" oder was dort genau steht.

Dann siehst du das, was ich dir hier jetzt erklärt habe.

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Mehr darf ich nicht schreiben, keine Zeichen mehr :D

Her mit den Fragen, alles hast du bestimmt nicht verstanden! ;)

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 15

Zuerst "malst" Du den Graphen ab. Darunter kommt dann ein Koordinatensystem, in das Du die jeweiligen Steigungen der darüber liegenden Funktion einzeichnen sollst.

Da, wo der Graph seine Hoch- und Tiefpunkte hat, ist die Steigung schon einmal Null. Mit diesen Punkten solltest Du anfangen. Steigt der Graph, ist die Ableitung positiv, also der Graph der Ableitungsfunktion über der x-Achse, bei sinkendem Funktionsgraphen darunter. Je steiler der Graph nach oben bzw. unten geht, desto weiter ist der Ableitungsgraph von der x-Achse entfernt.

Kommentar von momo621 ,

und das besagt die aufgabe oder wie...wenn ja dann ist das video doch perfekt oder

https://www.youtube.com/watch?v=tmrpkUuQgj4

Kommentar von Rhenane ,

Sonst hätte ich diese Zeilen nicht verfasst... Und ja, das Video ist perfekt, gibt das wieder, was ich versucht habe niederzuschreiben.

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