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Ableitung von ( ln(x) )' = 1/x beweisen?

gefragt von JoWaKuJoWaKu am 05.03.2009 um 21:25 Uhr

Mir ist bekannt, dass die Ableitung von f(x) = ln(x)

f'(x) = 1/x ist.

Aber wie beweist man das mit dem Differenzenquotienten-Verfahren?

( ln(x+h) - ln(x) ) / ( (x+h) - x ) =

( ln( (x+h)/x ) / h =

( ln( 1 + h/x ) / h = ...

... Ich habe da einen Hänger.

Keine Sorge: Es ist keine Hausaufgabe (ich bin über 50), nur reines Interesse.

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Complex
beantwortet von Complex am 5. März 2009 22:00
1x
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Hilfreichste Antwort

Gegenwind hat im Kommentar zu boriswulff den Trick eigentlich schon angegeben, aber ich machs nochmal deutlicher:

Anknüpfend an deinen letzten Ausdruck: lim(h->0) ln( 1 + h/x ) / h

Hier lässt sich 1/h noch in den ln ziehen und es steht da: lim(h->0) ln( (1 + h/x)^(1/h) )

1/h lässt sich durch n substituieren und es folgt: lim(n->oo) ln( (1 + 1/x / n )^n )

Und da lim(n->oo) (1 + a/n)^n = exp(a) ist, folgt: ln( exp(1/x) ) = 1/x

Kommentar von 17abc50f2e81c1dd7dee5c92cb92544fsmallJoWaKu am 5. März 2009 22:09

Danke erst mal!

lim(n->oo) (1 + a/n)^n = exp(a)

Hmm, der Schritt ist mir aber noch nicht klar.

Kommentar von 10b4eb76294b70d7fd6df997ff06edb1smallComplex am 5. März 2009 22:13
Kommentar von 17abc50f2e81c1dd7dee5c92cb92544fsmallJoWaKu am 6. März 2009 20:56

Danke!


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boriswulff
beantwortet von boriswulff am 5. März 2009 21:36
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Das geht über die Herleitung der Ableitung über die Umkehrfunktion.

Es gilt:

f^(-1)'=1/f'(f^(-1))

mit f^(-1)=ln(x) und f(x)=e^x

also

(ln(x))'=1/e^(ln(x))=1/x

Kommentar von D7b4e78b0406fcf2527c4379d6965c8fsmallboriswulff am 5. März 2009 21:37

Mit dem Differenzenquotienten kannst Du das sehr schlecht beweisen.

Kommentar von Gegenwind am 5. März 2009 21:42

es geht schon:

=>ln((1+h/x)^1/h)=ln(e^(1/x)))

Kommentar von 17abc50f2e81c1dd7dee5c92cb92544fsmallJoWaKu am 6. März 2009 08:18

Auch eine interessamte Methode.

Danke!


anonym
beantwortet von Gegenwind am 5. März 2009 21:32
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sehe ich das richtig...es ist nur das problem das lim(ln(1)/h) 0/0 ist also ein unsbetimmter ausdruck


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