Ableitung von ( ln(x) )' = 1/x beweisen?
JoWaKu am 05.03.2009 um 21:25 Uhr
Mir ist bekannt, dass die Ableitung von f(x) = ln(x)
f'(x) = 1/x ist.
Aber wie beweist man das mit dem Differenzenquotienten-Verfahren?
( ln(x+h) - ln(x) ) / ( (x+h) - x ) =
( ln( (x+h)/x ) / h =
( ln( 1 + h/x ) / h = ...
... Ich habe da einen Hänger.
Keine Sorge: Es ist keine Hausaufgabe (ich bin über 50), nur reines Interesse.
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Gegenwind hat im Kommentar zu boriswulff den Trick eigentlich schon angegeben, aber ich machs nochmal deutlicher:
Anknüpfend an deinen letzten Ausdruck: lim(h->0) ln( 1 + h/x ) / h
Hier lässt sich 1/h noch in den ln ziehen und es steht da: lim(h->0) ln( (1 + h/x)^(1/h) )
1/h lässt sich durch n substituieren und es folgt: lim(n->oo) ln( (1 + 1/x / n )^n )
Und da lim(n->oo) (1 + a/n)^n = exp(a) ist, folgt: ln( exp(1/x) ) = 1/x
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Das geht über die Herleitung der Ableitung über die Umkehrfunktion.
Es gilt:
f^(-1)'=1/f'(f^(-1))
mit f^(-1)=ln(x) und f(x)=e^x
also
(ln(x))'=1/e^(ln(x))=1/x
boriswulff am 5. März 2009 21:37 Mit dem Differenzenquotienten kannst Du das sehr schlecht beweisen.
es geht schon:
=>ln((1+h/x)^1/h)=ln(e^(1/x)))
JoWaKu am 6. März 2009 08:18 Auch eine interessamte Methode.
Danke!
sehe ich das richtig...es ist nur das problem das lim(ln(1)/h) 0/0 ist also ein unsbetimmter ausdruck
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Danke erst mal!
lim(n->oo) (1 + a/n)^n = exp(a)
Hmm, der Schritt ist mir aber noch nicht klar.
siehe hier http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition
Danke!