2

Ableitung von ( ln(x) )' = 1/x beweisen?

Frage von JoWaKu JoWaKu

Mir ist bekannt, dass die Ableitung von f(x) = ln(x)

f'(x) = 1/x ist.

Aber wie beweist man das mit dem Differenzenquotienten-Verfahren?

( ln(x+h) - ln(x) ) / ( (x+h) - x ) =

( ln( (x+h)/x ) / h =

( ln( 1 + h/x ) / h = ...

... Ich habe da einen Hänger.

Keine Sorge: Es ist keine Hausaufgabe (ich bin über 50), nur reines Interesse.

Fragen zu gleichen Themen finden

Antworten (3)

  • 1
    Hilfreichste Antwort ausgezeichnet vom Fragesteller
    Antwort von Complex Complex

    Gegenwind hat im Kommentar zu boriswulff den Trick eigentlich schon angegeben, aber ich machs nochmal deutlicher:

    Anknüpfend an deinen letzten Ausdruck: lim(h->0) ln( 1 + h/x ) / h

    Hier lässt sich 1/h noch in den ln ziehen und es steht da: lim(h->0) ln( (1 + h/x)^(1/h) )

    1/h lässt sich durch n substituieren und es folgt: lim(n->oo) ln( (1 + 1/x / n )^n )

    Und da lim(n->oo) (1 + a/n)^n = exp(a) ist, folgt: ln( exp(1/x) ) = 1/x

    Kommentar von JoWaKu JoWaKuJoWaKu

    Danke erst mal!

    lim(n->oo) (1 + a/n)^n = exp(a)

    Hmm, der Schritt ist mir aber noch nicht klar.

    Kommentar von Complex ComplexComplex

    siehe hier http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition

    Kommentar von JoWaKu JoWaKuJoWaKu

    Danke!

  • 1
    RatgeberHelden Antwort von boriswulff boriswulff

    Das geht über die Herleitung der Ableitung über die Umkehrfunktion.

    Es gilt:

    f^(-1)'=1/f'(f^(-1))

    mit f^(-1)=ln(x) und f(x)=e^x

    also

    (ln(x))'=1/e^(ln(x))=1/x

    Kommentar von boriswulff boriswulffboriswulff

    Mit dem Differenzenquotienten kannst Du das sehr schlecht beweisen.

    Kommentar von Gegenwind GegenwindGegenwind

    es geht schon:

    =>ln((1+h/x)^1/h)=ln(e^(1/x)))

    Kommentar von JoWaKu JoWaKuJoWaKu

    Auch eine interessamte Methode.

    Danke!

  • 0
    Antwort von Gegenwind Gegenwind

    sehe ich das richtig...es ist nur das problem das lim(ln(1)/h) 0/0 ist also ein unsbetimmter ausdruck

Diese Frage

Verwandte Fragen

Noch nicht den richtigen Rat gefunden?

Einfach und schnell viele hilfreiche Ratschläge von Deutschlands aktivster Ratgeber-Community erhalten!

Einfach und schnell einen Tipp erstellen und Ihren guten Rat mit anderen teilen!

Einfach und schnell ein Video hochladen und anschaulichen Rat an alle geben!

Die unter gutefrage.net angebotenen Dienste und Ratgeber Inhalte werden nicht geprüft. Die Richtigkeit der Inhalte wird nicht gewährleistet. Rechtliche Hinweise finden Sie hier.