Frage von Yeti101, 59

Ableitung von f(x)=1/x^2?

Guten abend alle zusammen :D

Ich würde gerne die lange, schriftliche Version (!) für die Ableitung der oben angegebenen Funktion lernen. (Keine sorge das ist keine Hausaufgabe von mir, ich würde es nur gerne für die Vorbereitung meiner Matheklausur wissen :)

Vielen dank im voraus :D

Antwort
von lisalovesdance, 32

also im Bruch steht ja das x hoch zwei unten diese holst du dann nach oben .Jedoch steht da dann nicht 1*x hoch zwei sondern 1*x hoch minus zwei.Dann holst du die minus zwei nach unten zu der eins..dann kommt da -2*x^-3--da steht minus drei weil man da oben noch eins abziehen musst.Und wenn du dass dan wieder in nem Bruch haben möchtest dann steht da-2/x^3

Hoffe ich konnte dir helfen..Wenn nicht frag einfach nochmal:)

Kommentar von Yeti101 ,

Danke für die Antwort, jetzt ist mir aber gerade doofer weise erst aufgefallen, dass ich meine Frage evtl etwas falsch formuliert habe. 

Mit dem "langen, schriftlichen Weg" meine ich diese Rechnung in der man mit dem lim h->0 laufen lässt. 

Weißt du was ich meine? :D

Kommentar von lisalovesdance ,

sorry das kann ich leider nicht so gut..sry

Antwort
von EstherNele, 15

Du kannst einmal die Quotientenregel benutzen.

allgemein    bei f(x) = u(x) / v(x)  gilt für f '(x) = ((u' * v) - (u* v ')) / v²

konkret deine Gleichung: 

(1/x²)' = (0 * x² - 2x*1) / (x² * x²) = -2x/ x^4 = -2 / x^3

Du kannst die Gleichung auch umformen:(Ableitung von Potenzen)

y(x) = 1/x² = 1*x^-2 = x^-2
y'(x) = -2 * x^-3 = -2 / x^3

Du bekommst mit beiden Rechenwegen das gleiche Ergebnis.

(Ich habe jetzt solche Feinheiten  wie (du)dx einfach mal weggelassen, für eine elegante vollständige Herleitung gehört es sich natürlich, diese mit aufzuführen - sry)

Antwort
von Roach5, 16

Also die Potenzregel [Ableitung für x^n] funktioniert im eigentlichen Sinne nur für positive n, da im Beweis der Binomialsatz verwendet wird, der auch erstmal nur für positive n gilt.

Die Herleitung der Ableitung von f(x) = 1/x² wird in zwei Teilen geschehen, erst eine kleine Wiederholung der Ableitung von x² und dann in der Ableitung von 1/f(x), wenn f'(x) bekannt ist.

g(x) = x² lässt sich einfach ableiten, wir haben:

g'(x) = lim h->0 [(x+h)² - x²]/h = lim h->0 (x² + 2hx + h² - x²)/h = lim h->0 2x + h = 2x, soweit so gut.

Dazu erinnern wir uns an die Reziprokenregel:

(1/f)' = -f'/f², dies ist ein Sonderfall der Quotientenregel, wenn du u/f ableiten willst und u = 1 setzt, kommst du auf genau diese Formel, da der erste Summand u'f wegfällt, da u' = 0.

Letztendlich kommen wir also auf:

(1/x²)' = -2x/(x²)² = -2/x³.

LG

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 21

schreib zumindest die Formel auf, mit der du die lange Version machen möchtest.

Kommentar von Yeti101 ,

f'(x) = f(x+h)-f(x)/h

Ich weiß einfach nicht genau wie man, wenn man f(x) eingesetzt hat, das mit der binomischen Formel für x^2 lösen soll :-/

Kommentar von Ellejolka ,

Zähler

1/(x+h)² - 1/x²

auf Hauptnenner bringen

(x² - (x+h)²)/((x+h)² •  x²) = (x²-x²-2xh-h²)/((x+h)² • x²)

= h(-2x-h)/......

dann das h oben gegen h im Nenner kürzen

und h gegen 0

-2x/x^4 = -2/x³

Kommentar von Polynomo ,

ja , so geht es .

Antwort
von 1234xXx, 7

So, bitte. An der Tastratur lassen sich so schlecht Brüche schreiben :/

Antwort
von 1234xXx, 23

d/dx (1/x^2) = d/dx (x^-2) = -2(x^-3) = -2/(x^-3)

Oder möchtest du eine Grenzwertbestimmung?

Kommentar von Yeti101 ,

Ja du hast recht, ich meine die Grenzwertbestimmung, ich habe meine Frage leider etwas falsch formuliert.. :-/

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten