Ableitung einer Potenzfunktion für den Kehrwert einer Funktion?

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3 Antworten

Für den Bereich x₀ ∈ ℝ₊ gilt die Formel sogarfür beliebige komplexe α, denn nach  ist

(1.1) (x₀ + h)^{α} = x₀^{α}(1 + h/x₀)^{α}
                       = x₀^{α} ∑_{k=0}^{∞}(α|k)(h/x₀)^{k}
                       = ∑_{k=0}^{∞}(α|k)x₀^{α–k}h^{k}

mit dem verallgemeinerten Binomialkoeffizienten (normalerweise übereinander geschrieben wie bei einem 2D-Vektor)

(1.2) (α|k) = {α·(α–1)·(α – 2)·…·(α – k + 1)}/k!.

In der in (1.1) genannte Reihe müssen mit kleiner werdendem h immer weniger Terme berücksichtigt werden, für h→0 nur die ersten beiden, sodass sich

(2) lim_{h→0} (x₀ + h)^{α} = x₀^{α} + α·x₀^{α–1}h

Für den Differenzenquotienten

(3.1) [(x₀ + h)^{α} – (x₀)^{α}]/h

ist dieser Limes

(3.2) [x₀^{α} + α·x₀^{α–1}h – x₀^{α}]/h = α·x₀^{α–1}h/h = α·x₀^{α–1},

also die Formel für die Ableitung.

Dabei kann 1/α eine natürliche Zahl sein.

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Das ist doch ganz logisch. Wenn du x² ableitest bekommst du doch 2x.
Du hast im Prinzip die ² vor das x gestellt und die Potenz um eins verkleinert. Wäre dies nun n hättest du

(x^n)' = n*  x^n-1

Wenn du das jetzt mit x^1/v machst musst du natürlich das 1/4 vorstellen und die Potenz -1 machen. Also 1/v * x ^(1/v)-1.
Klammern nicht vergssen 1/v wird ja verkleinert und nicht nur v allein.

Das ist die ganz normale Ableitung. Herleiten kannst du dir das mit dem Differnetialquotienten, das ist aber komplizierter.

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Kommentar von LoveMathVulcan
25.07.2016, 05:54

Du bist nicht auf meine Frage eingegangen. Ich weiß das der Beweis eigentlich schon an sich völlig überflüssig ist, dennoch will ich ihn verstehen. Das ist nicht logisch, Du überträgst nur das Wissen auf anderes. Logisch gesehen müsste das erst erklärt werden.

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Ich glaube, die Antwort auf deiner Frage liegt in der Ableitungsformel. Wenn ich mich nicht taeuschen, sollte ( f^{-1} )' (x) = 1 / ( f'( f^{-1}(x) ) ) sein. Damit sollte alles glatt durchgehen

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