Frage von kremmer10, 25

Was ist die Ableitung der Umkehrfunktion h(x) = wurzel(2) * arcosh(wurzel(x))?

Hallo ich habe folgende Funktion:

h(x) = wurzel(2) * arcosh(wurzel(x))

Habe zu dieser Aufgabe keine Lösung Gesucht ist die Ableitung der Umkehrfunktion und die dazugehörige Tangentengleichung.

Mein Lösungsansatz wäre dieser gewesen:

f(x) = 1 / (4 * sinh ( wurzel(2) * arcosh(wurzelx)) * 1 / 2 * wurzel(x)

Stimmt dieser Ansatz der Ableitung?

Antwort
von Kesselwagen, 25

Hallo,

Du differenzierst mit dem Vorfaktor Wurzel 2, das geht leider nicht. Wurzel 2 ist eine Konstante. Beachte dass c * f(x) abgeleitet c * f'(x) ergibt. Deshalb stimmt der Ansatz schonmal nicht.

Die Ableitung kannst Du wie folgt berechnen (sqrt(x) ist die Wurzelfunktion):

f(x) = sqrt(2) * arcosh(sqrt(x))

  • Ableitung der Umkehrfunktion + Kettenregel angewendet

    f'(x) = sqrt(2) / sinh(arcosh(sqrt(x))) * 1 / 2sqrt(x)
  • Nun nutzen wir aus, dass cosh^2(x) - sin^2(x) = 1 ergibt:

    = sqrt(2) / sqrt(cosh^2(arcosh(sqrt(x))) - 1) * 1 / 2sqrt(x)
  • Dadurch vereinfacht sich das ganze zu:

    = sqrt(2) / (sqrt(x - 1) * 2sqrt(x))
  • Kannste noch umschreiben in

    = 1 / (2 * sqrt(2) * sqrt(x - 1) * sqrt(x))

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LG. Kesselwagen

Kommentar von kremmer10 ,

Danke dir! War mir nicht sicher ob Wurzel 2 auch als Vorfaktor zählt oder nicht. Der Rest ist dann klar, danke. 

Kommentar von Kesselwagen ,

Ja sehr gerne :-)

Wurzel 2 ist ja ne Konstante und nicht von x abhängig ^^

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