Frage von pinky2brain, 17

Ableitung der Umkehrfunktion f(x)=x^3-3x^2+6x+3?

Hallo, die passende Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion habe ich schon gefunden:

(f^(-1))'=1/(f'(f^(-1)))

Für die Ableitung: f'(x)=3x^2-6x+6

Bei der Bildung der Umkehrfunktion scheitert es jedoch. Gibt es dafür einen einfach Trick?

Bereits Danke für die Hilfe.

Antwort
von eddiefox, 2

Hallo,

du hast die Lösung ja schon da stehen.

Es gilt  f⁻¹(f(x)) = x; ableiten =>

 f⁻¹(f(x))' = 1, also (Kettenregel): (f⁻¹)'(f(x) * f'(x) = 1,

also (f⁻¹)'(f(x)) = 1 / f'(x)

Lösung:

 (f⁻¹)'(y) = 1 / f'(x) ), mit y = f(x)

Man muss natürlich die Nullstellen von f'(x) ausschliessen.

(und y ausrechnen. Die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle y = f(x) ist 1 durch Ableigung von f an der Stelle x.

Gruss

Kommentar von eddiefox ,

1 / f'(x) ist also die Ableitung von f⁻¹ an der Stelle

y = 3x³-3x²+6x+3.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 3

einfacher Trick fällt mir da nicht ein;

für die Formel brauchst du ja die Umkehrf. und die ist bei dieser Funktion

recht schwierig.

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